Я уже рассказывала про одну из этих задач.
Корней с Матвеем живут на круглом острове, и хотят построить на берегу пристань так, чтобы сумма расстояний от их домиков до пристани была наименьшей. Где построить пристань?
У этой задачи есть знаменитая близняшка – когда Корней с Матвеем живут не на круглом острове, а на полуплоскости.
Чтобы найти место для пристани с наименьшей суммой расстояний МП+КП, нужно выйти за пределы полуплоскости и отразить один домик (пусть M) относительно прямой-берега, получится точка М'. Остаётся провести прямую КМ': где она пересечет берег, там и строить пристань. Эту задачу включают во все учебники геометрии, о ней рассказывают на кружках, с нее часто начинают лекции и книги о математических бильярдах. Она учит «выходить за рамку» и показывает красоту и пользу неочевидного дополнительного построения. А еще это редкий случай, когда школьными методами можно прикоснуться к задачам вариационного исчисления, где абстрактная математика встречается с вполне практическими приложениями.
Эти две задачки очень похожи, поэтому и от задачи про круглый остров мы ждем какого-то красивого, изящного решения. Но нет. У кого я ни спрашивала, никто не мог решить эту задачу (ну и я тоже не могла). Спасибо Константину Кнопу за наводку — это старая-старая задача.
Её легко переформулировать как задачу о зеркале на плоскости. Представим, что у нас есть круглое зеркало (можно представлять его цилиндрическим, словно бы круглый цилиндр стоит на плоскости рисунка). Наблюдатель видит в этом зеркале отражение некоторого предмета. В какой точке на круглом зеркале преломляется луч? Наблюдатель с предметом могут находиться вместе внутри круга или вместе снаружи.
Считается, что первым задачу с круглым зеркалом поставил Птолемей, тот самый, который поместил Землю в центр мироздания (и мы теперь геоцентрическую систему называем птолемеевой). Решил её Ибн аль-Хайсам (в другой озвучке Альхазен), один из создателей науки оптики. Двумерную задачу о круглом зеркале иногда и называют задачей Альхазена.
Во времена Ибн аль-Хайсама алгебры для решения таких задач еще не было, а с помощью циркуля и линейки ее решить нельзя. Он решил ее геометрически, используя конические сечения. Алгебраическое решение было получено только в 20 веке; задача сводится к решению уравнения четвертой степени. Жалко, что не третьей — тогда бы она решалась методами оригами. А циркулю и линейке поддаются только уравнения второй степени.
В комментариях математические задачи часто упрекают в том, что они слишком абстрактны, на хлеб их не намажешь, пользы от них никакой, и вообще они никому не нужны, кроме самих математиков, напрочь оторвавшихся от жизни.
Может показаться, что задача Ибн аль-Хайсама — тоже диковинка из тех, которыми математики занимаются для забавы. Что мотивировало математиков во времена Птолемея, теперь уже трудно сказать. По преданию, Архимед использовал параболические зеркала, чтобы поджигать вражеские корабли, а отсюда один шаг для других криволинейных зеркал. Ну и научное любопытство.
А в наши эта математика круглых зеркал дошла и до бытовых приложений. Её применяют для обработки сигналов и изображений от сферических камер «рыбий глаз».