На прошлых выходных в Петербурге прошла районная олимпиада по математике, которая, с одной стороны, выполняет роль муниципального этапа при отборе на Всероссийскую олимпиаду, а с другой стороны, является отбором на городскую олимпиаду по математике.
В 10-м классе предлагалась довольно симпатичная задача по геометрии на втором месте. Если резюмировать утверждения из двух вариантов, ее условие звучит следующим образом.
Решение достаточно простое (как и должно быть у второй задачи). Дело в том, что неравенство на сумму углов четырехугольника равносильно в точности тому, что стороны BC и AD пересекаются в точке X, лежащей на лучах CB и DA. Это в свою очередь равносильно тому, что расстояние от точки B до прямой AD строго меньше расстояния от точки C до прямой AD. Поскольку треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD, неравенство между высотами эквивалентно неравенству S(ABD)<S(ACD) между площадями треугольников.
Выкидывая общую часть, заключаем, что равносильным неравенством является соотношение S(AOB)<S(DOC), что в силу равенства углов AOB и COD и приводит к условию на произведения отрезков.
