Крутая геометрическая задача, в которой дано так много, но при этом все нужно использовать. Решать и разбирать такие задачи одно удовольствие.
Условие:
Полуокружность с диаметром AB и центром O разделена точками C и D на три части так, что точка C лежит на дуге AD. Из точки D на отрезки OC и AB опущены перпендикуляры DE и DF соответственно. Оказалось, что DE - биссектриса треугольника ADC, а DO - биссектриса треугольника ADF. Найдите угол CAD.
Решение:
Треугольник AOD равнобедренный (AO=OD - радиусы). Следовательно ∠DAO=∠ADO.
В прямоугольном треугольнике ADF сумма углов равна 180°=90°+3a. Откуда a=30°.
В треугольнике CDG высота DE так же является биссектрисой, а значит треугольник CDG - равнобедренный (∠GCD=∠CGD).
Треугольник COD равнобедренный (CO=OD - радиусы), а значит ∠OCD=∠ODC.
Так как треугольники CGD и OCD равнобедренные с равными углами при основаниях, то их углы при вершинах так же равны между собой (∠CDG = ∠COD=c). При этом ∠CDO = ∠CDG+30°. Сумма углов в треугольнике COD равна 180°=3c+60°, значит c=40°=∠COD.
Так как Вписанный угол CAD опирается на ту же дугу, что и центральный угол COD получаем, что ∠CAD=40°/2=20°.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!