Мы знаем, что ноль – число особенное. На него нельзя делить, что бы не умножили на ноль, все-равно получается ноль, и так далее. Специфического много, но, пожалуй, самое необычное свойство проявляется при возведении в степень.
Вот смотрите. Известно, что абсолютно любое число в нулевой степени равно единице.
Доказать это просто, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются.
Возьмем, к примеру:
Но ведь мы делим число на себя, это всегда будет равно единице! Такую логику можно применить к любому числу, вот только будет ли она работать с нулем?
Серьезно, ноль в любой степени должен быть нулем. Сколько раз его не перемножай самого на себя, другого ничего не получится! Вот только если взять нулевую степень, то ответ будет такой – один! Но как? Неужели перемножая нули можно получить единицу? В чем подвох?
Оказывается, все объяснимо! Итак, в некоторых местах будет сложно, в середине я заставлю вас задачу решать, но оно стоит того!
Предел х в степени х
Для начала рассчитаем значение не 0 в степени 0, раз там полная неразбериха, а чисел, максимально близких к нулю. Возьмем выражение х в степени х и будем записывать, чему оно равно для все меньшего и меньшего х, потихоньку приближаясь к 0. Начнем с единицы, и будем чертить график.
Поначалу значение и правда уменьшается, ничего удивительного. Но в определенный момент, оно начинает расти, и обратите внимание, чем меньше х, тем х в степени х ближе к единице! Потому логично предложить, для непрерывности, что и в самой точке ноль выражение строго равно одному! Чем вам не доказательство?
Теория множеств
Вроде на этом можно остановиться, но есть еще одно элегантное доказательство. Дело в том, что математика, это не только цифры и числовые оси. Есть комбинаторика, теория функций, множество других разделов, где нужно значение 0 в степени 0.
Итак, есть три блогера смежной тематики: Я, Артур Шарифов и Топа. И есть две обалденные темы для ролика, например, искусственный интеллект и космос! Каждый записывает 1 ролик на 1 тему, повторяться, конечно, можно. Вопрос: сколькими вариантами они могут это сделать? Ну то есть все на одну тему, или двое одну, третий другую?
К чему эта задача? В теории множеств есть теорема, согласно которой множество с количеством элементов M можно отобразить на множество с количеством элементов N вот столькими вариантами N в степени M.
Здесь как раз множество блогеров (3 элемента) отображается на множество тем (2 элемента). В итоге получается 8 вариантов.
Если что, вот они все перед вами:
Но при чем тут ноль?
Дело в том, что бывают и пустые множества! И есть только один вариант отображения пустого множества на пустое. А это значит, что 0 в степени 0 и есть единица! Это чисто символическое доказательство, не такое серьезное. Но все равно, логично что, ноль блогеров может записать ноль роликов только одним способом.
Контрпримеры
Однако не все так гладко в королевстве математики! Есть куча примеров, когда 0 в степени 0 – вообще ни разу не один! Мы показали, что х в степени х стремится к единице. Но в общем случае, если есть два выражения, которые приближаются к нулю, то если одно возвести в степень другого, не обязательно в пределе будет единица.
Например, вот такое выражение:
По отдельности основание и показатель стремятся к нулю.
Но итоговое выражение тождественно равно 0,2! Если раскрыть скобки , то Х сокращается.
И вообще, в зависимости от числа в основании у выражения всегда будет разное значение.
Вывод
Если мы находимся в рамках алгебры, простых арифметических вычислений, теории множеств, комбинаторики, находим суммы рядов, то без проблем можем считать это равным единице, и это во многих случаях будет даже упрощать наши вычисления.
Но в общем случае, особенно в рамках математического анализа, при вычислении пределов, говорят, что значение 0 в степени 0 – не определено. Его не существует, вот и все. И вообще, это только одна из многих неопределенностей, возникающих в матане, которая разрешается по-своему в каждом конкретном случае.
Так что чему равняется 0 в степени 0 зависит от контекста. Во многих случаях можно считать это единицей, но нужно помнить, что не во всех! И в разных языках программирования, разных калькуляторах тоже может быть по-разному. Где-то один, где-то не определено. В любом случае, практического применения у этого выражения нет, поэтому математики особо от него не страдают, хоть и иногда спорят, считать 0 в степени 0 равным единице, или нет. Но это не мешает быть ему таким интересным.
Спасибо за внимание!
P.S.
Есть более точное нахождение предела x в степени x (для тех, кто не боится логарифмов, правила Лопиталя и прочих матановских заморочек). Вывод тот же, но полученный аналитически, а не графически. Советую его посмотреть здесь, но для любителей текста — оно ниже.
Для начала разберемся, что такое дробная степень. Рассмотрим такой пример. Сколько будет 9 в степени 2,5? Мы должны умножить девятку саму на себя 2,5 раза! То есть это 9 на 9 на… какую-то половинку! То есть мы должны разбить 9 на две одинаковых части, но какие? 4,5 не подходит. Здесь они должны давать 9 не при сложении, а при умножении. Тогда подходят тройки. И если их подставить, все получается! Можете проверить!
Вот что такое дробная степень! Если, например, находить 16 в степени ¼, нужно это число разбить на 4 одинаковых части! Но чтобы они давали 16 не при сложении, а при умножении. А это 4 двойки! Значит 16 в степени ¼ это 2, а в степени ¾ - 8. Все просто. Стоит отметить, что это не что иное, извлечение корня.
Так же вычисляется, например, 0,1 в степени 0,1! Нужно число перемножить на себя 0,1 раз, то есть разбить на 10 одинаковых частей, которые перемножаясь дают 0,1. И каждое из этих чисел должно получиться больше 0,1, ведь каждое умножение в таком случае будет уменьшать результат! Вот и получается, что это равно примерно 0,79, как подсказывает калькулятор.
Вот так! Казалось бы, должно быть уменьшение, а получается, наоборот. Просто здесь два эффекта (дробное число и дробная степень меньше единицы), накладываясь друг на друга, дают противоположный результат. Это как минус на минус дает плюс, только более хардкорная версия. Поэтому приближаясь к нулю, х в степени х стремится к единице, а не куда-то еще.