Бывают задачи в которых нужно определить наибольшее количество чего-либо по входным данным (фактически пример плюс оценка). То есть титаническими усилиями нужно показать, что есть четкий максимум, а потом привести (или описать) пример.
Условие:
На плоскости провели 8 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?
Решение:
Выделим в каждом равнобедренном треугольнике прямую, на которой лежит его основание. Если он равносторонний, произвольным образом объявим его основанием одну из его сторон.
Пусть l и m — некоторые две из проведенных прямых. Тогда существует не более одного равнобедренного треугольника, у которого на l лежит основание, а на m — боковая сторона. Действительно, направление третьей стороны тогда находится однозначно, и существует не более одной проведенной прямой этого направления. Тогда прямая l содержит основания не более чем трех треугольников; иначе у треугольников с основаниями, лежащими на l, было бы как минимум (если этих треугольников четыре) 8 боковых сторон, и две лежали бы на одной прямой, что невозможно, так как по условию никакие две прямые не параллельны.
Итого, имеется не более 3 • 8 = 24 оснований, т. е. треугольников не больше 24.
Равнобедренных треугольников будет 24, если провести 8 прямых, параллельных восьми последовательным сторонам правильного 16-угольника, так, чтобы никакие три прямые не пересеклись в одной точке. Легко видеть, что тогда на каждой прямой будет лежать ровно по три основания.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!