Очень коротко, потому что это не отдельная статья, а ответ на комментарии.
Надо различать чертёж и рисунок. Чертёж должен быть точен на 100% (с учётом масштаба), а рисунок должен лишь топологически и "фактологически" отражать ситуацию в задаче, без привязки к числам. (Кроме стереометрии). Всё, что будет написано, в равной степени относится к обоим.
Чертёж наглядно изображает факты, перечисленные в тексте задачи. При этом, на нём всегда больше фактов, чем в тексте. Иногда чертежи заменяют часть текста задачи.
Чертёж может сопровождать текст теоремы, но на нём самом нет теорем. Он всего лишь перечисляет факты, а теорема констатирует связь между ними.
Хороший, плохой, злой
Хорошим рисунком можно называть такой, который наиболее точно отражает факты, перечисленные в тексте задачи. Именно точно - на рисунке должны иметься все факты, перечисленные в задаче, а "избыточные" факты сведены к минимуму.
Приведу пример сразу. Задача из учебника геометрии.
В тексте задачи (под буквой а) даны всего 4 факта:
- AE∩DC = (.)B
- B - середина DC
- B - середина AE
- ∆ABC = ∆EBD
При чём 4й (о равенстве треугольников) надо доказывать (раз задача решаема, то при анализе чертежа можно опираться и на него)
Сделаем три чертежа: хороший, плохой и ужасный. Сначала ужасный:
На этом чертеже, кроме первого, нет перечисленных в задаче фактов. По такому чертежу можно решить эту задачу, считая его топологическим. Вот здесь мне говорят: ну и всё, заткните свой фонтан, Стив, сами же говорите, что задачу можно решить, зачем всё усложнять?. Я-то заткну, но на таком чертеже обучить геометрии практически невозможно даже "сильного" ученика, не говоря уж о "среднячках" или "откровенно слабых", его может использовать только тот, кто уже всё умеет. Я не уверен, что смогу.
Плохой чертёж:
Плох он тем, что кроме 4х фактов из текста в нём есть ещё 46 других фактов:
Это плохо, потому что в списке есть "лишние" факты. Это такие, которые свойственны только этому конкретному чертежу, и они исчезнут, если чертёж изменить. Разумеется, менять надо так, чтобы сохранились факты из условия задач (выделены жирным). С таким чертежом задача решится наверняка, и на этом снова меня попросят уйти. Но я всё равно вклинюсь. Ребёнок на нём видит те факты, которых не следует из условия задачи. Из этого следует очень глубоко идущий психологический вывод: этого человека даже обманывать не надо, он сам себе напридумывает, у него не формируется критическое мышление, а значит, никакой самопроверки и в помине быть не может.
Перерисуем чертёж в хороший:
Посмотрите, сколько фактов осталось:
И ни один уже нельзя убрать, не потеряв при этом фактов из текста.
Теперь на минуточку:
Истинность каждого факта, который есть на хорошем чертеже, можно доказать и использовать при решении задачи.
Что касается плохих и ужасных чертежей: там есть факты, которые невозможно доказать. Не очень опытный в геометрии человек, вооружившись таким, может проплюхаться с доказательством того, чего нет (например, 19. DC=EA в списке для плохого чертежа).
Заключение
При решении задач по геометрии каждый сам решает, какого чертежа ему достаточно. Учитель, мне кажется, не имеет права использовать чертежи, на которых есть недоказуемые факты. Иначе, простите, чему он научит? Придумывать себе реальность?
Думаете, греки доказывали свои теоремы, словом "смотри" только потому что были очень ленивые? Да нет, они быстро просекли, что на хорошем чертеже можно доказать любой факт, а значит, можно и сам чертёж использовать как нестрогое доказательство.
PS
При составлении списка фактов я пользовался автоматической трассировкой чертежа, поэтому буквы могут стоять не по тексту задачи (EA вместо AE). Программа трассировки не идеально отработана, поэтому может выдавать и ошибочные факты. Я просмотрел все списки, ошибок не углядел. Может, читатели найдут.