Всегда приятно, когда в задаче сочетаются разные темы. В приведенной задаче сочетаются многочлены и метод математической индукции, а при переходе от предположения индукции к шагу нужно проявить эвристические способности.
Условие:
На доске записаны многочлены x+1 и x² +1. Разрешается дописывать да доску многочлен f равный сумме, разности или произведению любых двух различных многочленов записанных на доске, если f не был выписан на доске ранее. Можно ли выписать на доску многочлен x^{2019}+1 (x в степени 2019 плюс 1)?
Решение:
Покажем по индукции, как получить любой многочлен вида x^n+1.
База индукции для n=1 и n=2 задана по условию.
Пусть на доске есть многочлены (по предположению индукции)
Тогда перейдем к шагу индукции и выпишем
Если какой-то из многочленов уже выписан на доске, просто пропускаем этот шаг. Утверждение доказано.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!