Много лет я считала сама и рассказывала другим, что в решении математической задачи есть одна серьезная трудность, которую мало кто замечает: надо придумывать новые идеи и их проверять, причем не по одному разу. Постоянно переключаться между творческим подходом (генерировать идеи) и критическим (проверять их) нелегко. Тут нужна гибкость мышления, врожденная и выращенная.
Я уже пыталась рассказать, как решают задачи. Настоящий путь решения сильно непрямолинейный, и это отчасти потому, что решателю приходится менять стратегии работы (надевать разные шляпы). И иногда не по одному кругу. Необязательно каждому решателю в каждый раз примерять все эти шляпы; не всегда они четко разграничены. Но знать об их существовании полезно, чтобы в трудных ситуациях сознательно надеть тот или иной головной убор.
1. Разведчик
Разведчик старается добыть как можно больше сведений о задаче, не пытаясь сразу же ее решать. Когда нам в младшей школе говорили «расскажи условие задачи своими словами», – из нас делали разведчиков. Когда нам говорили: «запиши, что дано, что найти», – из нас делали разведчиков. Чаще всего разведчик 1) представляет задачу в целом; 2) фиксирует, что дано и что требуется; 3) определяет, к какой теме задача относится и какие математические знания могут понадобиться; 4) прикидывает, не решал ли уже похожую задачу.
Если задача для решателя представляется стандартной, шляпа разведчика может и не понадобиться. А иногда и этих четырех действий мало. Разведку обычно делают самым первым этапом, но в тяжелых случаях, когда задача никак не решается, к этому этапу возвращаются с других позиций. Иногда даже приходится проводить разведку боем – что-то делать наугад.
2. Переводчик
Переводчик переводит условие задачи в модель. В модели должны присутствовать все важные элементы задачи, фиксироваться связи между ними в концентрированном и удобоваримом виде. Важным моделям нас учили в школе – таблицам, схемам, чертежам, графам, уравнениям… Даже если никакая привычная модель не кажется подходящей, можно нарисовать хоть какую-нибудь картинку. Сам процесс рисования поможет выделить основные элементы задачи и уловить связи между ним. Помните, как Витя Малеев решал задачу «"Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки?"». Он нарисовал совсем простенькую картинку: мальчику два кармана, а девочке один, – и этот незамысловатый перевод и помог Вите решить задачу.
3. Навигатор
Навигатор составляет план решения задачи. Он смотрит на несколько шагов вперед, надеясь на то, что получится решение или хотя бы серьезное продвижение. Навигатор же выбирает лучший путь решения задачи из нескольких. Например: «это кубическое уравнение; попробую угадать один корень, свести уравнение к квадратному, а с квадратным уже справлюсь». Или: «Эту задачу я буду решать с конца». Когда мы говорим себе «в этой задаче я рассмотрю три случая, каждый из них более-менее обозрим», – это мы говорим с шляпой навигатора на голове.
Планы навигатора полезно вкратце записывать, чтобы не упустить чего-то важного.
4. Мастер
Сначала я хотела назвать мастера исполнителем, ведь он исполняет план навигатора. Но «исполнитель» звучит как-то несолидно, а между тем от его работы много зависит. Строитель не исполняет слепо замысел архитектора, перед ним тоже стоят творческие задачи. Навигатор не может предусмотреть все на несколько шагов вперед. Учесть все возникшие по дороге детали, обнаружить серьезные недочеты в маршруте – это задача мастера. Обычно записи именно с этого этапа школьники сдают в виде решения учителю.
5. Инспектор
Инспектор проверяет, все ли шаги решения обоснованы, нет ли ошибок. Не всем школьникам понятно, что они сами отвечают за свои решения. Некоторые полагают, что проверка – это дело учителя; иногда даже не сверяют свои ответы с теми, что в конце задачника. Методы проверки – моя любимая тема, многие я перечислила в книжке «Математика. Как стать внимательным».
Осталось две шляпы – самая главная и самая полезная
6. Потеряшка
Потеряшка – это тот, кто заблудился и не знает, куда идти дальше. «Решая» стандартные задачи, с известным заранее алгоритмом решения, мы быстро-быстро пробегаем по дороге разведка-модель-план-воплощение плана, не побывав потеряшкой. Но реально решать мы начинаем только тогда, когда добираемся до этапа «не знаю, что делать дальше». Потеряшке очень повезло: у него появился шанс размышлять самостоятельно, а не пережевывать старую жвачку, которую кто-то другой разжевал для нас заранее.
Что делать, если не знаешь, что делать дальше? Надеть другую шляпу. Может, нужна дополнительная разведка: «Какие еще математические знания пригодятся? Правильно ли я понимаю условие? Не добавляю ли я сюда лишних условий?». А может быть, надо улучшить модель: «Перерисую чертеж, сделаю его крупнее и аккуратнее, будет виднее.». Может быть, надо переделать план или поискать ошибку в его воплощении.
7. Съемщик сливок
Если решатель не побывал потеряшкой, если пользовался заранее известными алгоритмами, правилами и приемами, то ничему не научится на задаче. А если побывал, – тоже не факт, что научится. Научиться новому – это отдельное действие. Ведь мы решаем задачи именно для того, чтобы чему-то при этом научиться. После решения задачи мы спрашиваем себя: Что помогло мне выйти из состояния потеряшки? Чему я научился на этой задаче?
Ответы могут быть разными – уточнил формулу, переделал вычисления, нарисовал картинку… Надо постараться снять сливки: сформулировать ответ так, чтобы в следующий раз можно было бы им воспользоваться как советом. Такие советы самому себе запоминаются гораздо лучше, чем те, что вычитаны в учебнике.
Мне кажется, шляпа придумывателя гениальных идей не полезна. Придумывать новое приходится в каждой шляпе, метафора шляпы нужна для того, чтобы идеи генерились в нужном направлении.
А какие шляпы помогают решать задачи вам?