Есть у нас в языке странные глаголы, у которых почему-то выпадают некоторые личные формы. Например, форма первого лица единственного числа.
Вот они, эти дефективные товарищи (список по версии учебника, я с ним не согласен): дерзить, победить, убедить, очутиться, чудить, преградить, ощутить, затмить, галдеть, пылесосить, дудеть, обессмертить, басить, ерундить, тузить.
По правилам современного языка их форма первого лица образуется с помощью вспомогательного глагола или иначе. "Буду побеждать" или "одержу победу", "смогу ощутить" и т.п.
У некоторых из них вовсе нет современной литературной формы первого лица, у некоторых она есть, но образуется по иной схеме, нежели остальные личные формы.
Например, формы "я затмлю", "пылесошу", "прегражу" или "ощущу" вызывают меньше вопросов, чем формы глагола очутиться или победить. Ну, отличаются от других, но хотя бы не режут слух, как "победю" или "убежу".
Почти все эти глаголы роднит чередование г/д/ж, результат переднеязычной палатализации. По закономерности чередования в первом лице д или т должно перейти в ж или ш, но либо такое слово уже есть (как у глагола тузить - форма "тужу" уже принадлежит глаголу тужить), либо получается не слишком благозвучно. И нужно уже думать, что же там вместо "д" такого поставить, чтобы было красиво и правильно.
С глаголом "победить", кстати, всего двести лет назад всё было просто и ясно.
Форма первого лица образуется сходным образом с повелительным наклонением - чередованием "д" и "жд".
По логике словообразования, с глаголом "убеждать" должно быть ровно так же.
"Побежду" и "убежду" присутствуют в источниках вплоть до 40-х годов 20 века, а потом пропадают.
Форма "побежу" в литературе относится к глаголу "бежать", и довольно долго сопровождает форму "побегу".
"Сейчас побежу в собранию, принесу тебе обед." [А. И. Куприн. Поединок (1905)]
Что же до расхожей версии такого "провала" у глагола победить: "русские не побеждают в одиночку, только всем миром" - так глагол "побеждаю" это почему-то обошёл. Не складывается версия.
Так что если хотите сказать, что кого-то победите, но сказать это хотите именно одним словом, выбирайте форму "побежду". Не очень красиво, старомодно, зато надёжно, как дубовый буфет.