Заинтересованные в математике ученики, которые ищут понимание "сути предмета" и читают больше литературы, чтобы узнать, о чем на самом деле идет речь, могут получить вполне обоснованное впечатление серьезной математики как суровой, но удаленной горной цепи, доступной только для тех, кто посвятил свою жизнь ее изучению.
И они могут прийти к выводу, что новичок может оценить его только как грубый набросок через туман непреодолимой дистанции.
Прежде всего, стоит отметить, что математика - это не предмет для размышлений, о чем можно подсознательно судить по метафоре "сурового горного хребта".
Математика - это ментальная вселенная, работа над которой продолжается в нашем коллективном воображении, которая стремительно растет с течением времени и, в конечном счете, может показаться, что она без каких-либо очевидных ограничений.
Эта безграничность работает и в обратном направлении, когда речь идет о мелких деталях: те характеристики, которые, как мы думали, мы поняли, неоднократно используются или по-новому интерпретируются с целью выявления микроструктур оптоволоконного кабеля.
Следовательно, какой бы ни была суть предмета, очевидно, что это не то, к чему можно получить доступ только при полном изучении некоторого сложного корпуса знаний. Скорее, основной характер математики, по-видимому, связан с тем.
Материалы, которые считаются математическими,то, как эти материалы рассматриваются, - изменения в перспективе, которые происходят по мере углубления нашего понимания, и неожиданные связи, которые регулярно возникают между отдельными ветвями и слоями.
"Сущность математики" - это понимание испытывается не через изящную прозу или широкое описание автора, а через его личное участие в решении тщательно отобранных и доступных задач из элементарной математики.
Наше понимание человеческого тела и того, как оно работает, во многом обязано тем (например, древним грекам с 500 г. до н.э. по Гален во II веке н.э. и намного позже Веселию в XVI веке н.э.), которые вышли за рамки просто написания о таких вещах в высоко звучной прозе, и кто запачкал руки, приобретая трупы и разрезая их, чтобы увидеть изнутри, и при этом постоянно спрашивали себя, как функционирует тело тело.
Аналогичным образом, европейское открытие Нового Света в 15 веке и утверждение, что Землю можно обойти, зависело от тех, кто осмелился отправиться в неизведанные воды и внимательно следить за тем, что они нашли.
Процесс попытки понять вещи изнутри - это не детерминированная процедура: он зависит от сочетания опыта и вдохновения, интеллекта и умозаключений, ошибок и самокритики. В любое время превалирующее мнение может быть неполным или ошибочным.
Однако основополагающий подход (сверка текущих идей с реальностью, которую они призваны описать) - это единственный известный нам, людям, способ постепенно преодолеть ошибки и получить свежий взгляд на вещи.
Как вещи, которые мы видим, соотносятся с тем, что мы знаем? Что это говорит нам о математике, которую мы хотим лучше понять?
В последние годы школы и учителя во многих странах испытывают все большее политическое давление, с тем чтобы сосредоточиться на поддающихся измерению, краткосрочных "улучшениях". Такое давление часто связано с центральным тестированием, что отрицательно сказывается на низких оценках. Это побудило учителей играть безопасно и сосредоточиться на методах, ориентированных на будущее, которые позволяют учащимся находить ответы на предсказуемые одношаговые проблемы.
Сосредоточение внимания на краткосрочных целях несовместимо с хорошим преподаванием математики. Обучение математике - это длительная игра, и учителя и учащиеся должны иметь возможность свободно отвлекаться, смотреть в будущее и медленно развиваться с течением времени.
Учителя на каждом этапе должны иметь возможность свободно осознавать, что их основная ответственность заключается не только в улучшении успеваемости учащихся на следующем экзамене, но и в создании платформы, на которой можно будет строить последующие этапы.
Вышеупомянутое давление будет признано во многих странах, где механизмы подотчетности, основанные на благих намерениях, но не продуманные централизованно, привели к недальновидным "реформам". Дидактические и педагогические рамки, соответствующие сущности и воспитательной ценности элементарной математики, не могут быть основаны на ложных альтернативах математики (таких как математика или математическая грамотность).
Она также не может быть основана на тестах, измеряющих дешевый успех по вопросам, требующим только одношаговой процедуры. Нам нужны рамки, которые поощряли бы богатое сочетание детского любопытства, настойчивости, плодотворного разочарования и сильного удовлетворения от структурного мышления.
Те, кто любит смотреть профессиональный футбол, должны иногда удивляться тому, как опытные игроки, кажется, инстинктивно знают движения других игроков, и удается кормить мяч в пробелах и пространствах, которые мы просто не заметили даже зрители были там.
Мы не замечаем, что лучшие игроки практикуют искусство постоянно оглядываться вокруг себя и обновлять свои умственные записи - "смотреть на поле игры с поднятой головой" - так что когда мяч прибывает и их глаза должны сосредоточиться на мяче, их постоянно меняющиеся умственные записи постоянно обновляются, чтобы сказать им (иногда кажется чудом), где находятся лучшие тактические возможности. Реализация этих тактических вариантов отчасти зависит от бесконечной практики приобретения навыков, но практика - это лишь часть истории.
Разработайте математический эквивалент этой привычки "смотреть на игровое поле головой вверх", так что замечаемое может и дальше направлять выбор тактических вариантов, когда человек впоследствии погружается в толщину вычисления. Заметьте, что опыт борьбы с этой маленькой коллекцией и наслаждения ею показывает иногда свежий и запоминающийся взгляд на "сущность математики".