Остатки от деления могут пригодиться в самый неожиданный момент и следующая задача как раз тому подтверждение. Условие: Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно одно пирожное, а Карлсон — ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Могло ли число пирожных, съеденных однажды Карлсоном, оканчиваться на 101? Решение: Если в n-й (n>1) день Карлсон съел a пирожных, то в (n+1)-й день он съел b=a+1+a=2a+1 пирожное. Тогда a1=1, a2=2, a3=5, a4=11, т. е. на четвертый день он съел 11 пирожных. Но 11 = 4k-1 (при k=3), и на следующий день Карлсон съест 2(4k-1)+1 = 8k-1 = 4*2k-1 пирожное. Следовательно, начиная с четвертого дня, количество пирожных, съеденных Карлсоном, дает остаток 3 при делении на 4. А число, оканчивающееся на 101, дает остаток 1 при делении на 4. Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
Остатки от деления могут пригодиться в самый неожиданный момент и следующая задача как раз тому подтверждение.
Условие:
Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно одно пирожное, а Карлсон — ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Могло ли число пирожных, съеденных однажды Карлсоном, оканчиваться на 101?
Решение:
Если в n-й (n>1) день Карлсон съел a пирожных, то в (n+1)-й день он съел b=a+1+a=2a+1 пирожное. Тогда a1=1, a2=2, a3=5, a4=11, т. е. на четвертый день он съел 11 пирожных. Но 11 = 4k-1 (при k=3), и на следующий день Карлсон съест 2(4k-1)+1 = 8k-1 = 4*2k-1 пирожное. Следовательно, начиная с четвертого дня, количество пирожных, съеденных Карлсоном, дает остаток 3 при делении на 4. А число, оканчивающееся на 101, дает остаток 1 при делении на 4.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!