День 1, группа 1
В первой встрече нашей группы приняли участие: Игорь, Кирилл, Полина, Жанна, Юлия и Катя.
Изначально перед нами стояла задача "Можно ли замостить клетчатый квадрат 4х4 с выколотой клеткой уголком из трёх клеточек?".
После того, как каждый порешал самостоятельно, все 14 вариантов наших решений были собраны в одно место:
Мы сразу увидели, что варианты 1, 3 и 12 одинаковые с точностью до поворота и что варианты 2, 4 и 10 тоже одинаковые. Потом было замечено при поворотах и отражениях варианты 2,5,6,9 сводятся к варианту 1. Это дало нам повод считать замощения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 ,12 одинаковыми.
Далее было замечено, что решения 8 и 11 тоже можно считать одинаковыми, так как из одного второе можно получить зеркальным отражением. В итоге мы пришли к тому, что мы нашли всего три различных решения.
Основываясь на проделанной работе и том, что замостить согласно условиям задачи у нас получилось, была предложена следующая гипотеза.
Гипотеза 1: Квадрат 4х4 можно замостить по заданным правилам, если выколоть любую из клеток квадрата.
На первый взгляд все хорошо: так как 4х4 -1=15, а 15 делится на 3, то и уголками из трех клеточек можно будет оставшуюся часть замостить. Но значит, ли это, что замощение действительно возможно?
Решили проверить, действительно ли это так. Оказалось, что если выкалывать клетку, как в решении 1 (рис.2), то поворачивая и отражая данное замощение можно найти справиться с данной задачей при вырезании любой из клеток, ниже обозначенных знаком "+" (рис. 3а). Так же, рассуждая, была показана возможность замощения при любой выколотой клетке.
Подтверждение нашей гипотезы позволило нам мыслить смелее и мы решили, что ее можно обобщить на квадраты большего размера.
Гипотеза 2 (обобщенная гипотеза 1): При выкалывании любой клетки любого квадрата, площадь которого не делится на 3, его можно будет замостить уголками из трех клеток.
Для начала большинство из нас взялось за замощение квадрата 5х5 без одной клетки. Так как арифметически нам было понятно, что площадь оставшейся части делится на 3, то мы принялись за замощения для подтверждения своей гипотезы. Вот такие замощения мы нашли при индивидуальной работе за небольшое время.
Выяснилось, что не для всех выколотых клеток были найдены решения. Даже повороты и отражения нам с этим не помогли. Вот, что у нас получилось:
Далее решено было доказать, что при выкалывании незаполненных клеток по периметру квадрата замостить не получится. Сделано это было методом полного перебора. Что сделать было не так сложно, так как у одного уголка был единственный вариант постановки (рис.6).
Рис.6. Единственно возможный вариант постановки желтого уголка при данном выкалывании.
Ровно такая же картина возникла при выкалывании пустой клетки, находящейся ближе к центру (рис.7).
Вывод: гипотеза 2 оказалась неверна.
Мы решили выдвинуть чуть менее смелую гипотезу.
Гипотеза 3: Если выколоть угловую клетку любого квадрата, у которого площадь не делится на 3, то его можно замостить уголками из трех клеток.
Гипотеза 3 пока еще не подтверждена и не опровергнута.
Также в ходе работы нами были найдены замощения квадратов других размеров (рис.8).