Добрый день, уважаемые читатели. Если вы готовитесь к ОГЭ или просто хотите повторить темы школьной программы с 5 по 9 класс, подписывайтесь на канал :)
В этой статье рассмотрим два очень важных соотношения, которые можно вывести благодаря признакам подобия треугольников.
Рассмотрим их на примере задач из открытого банка заданий ОГЭ с сайта ФИПИ.
Задание 1
Задача решается устно, если знать свойство медиан:
Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
НО для достоверности докажем это (тем более, что на ОГЭ в задании 24 необходимо доказывать некоторые свойства)
1) построим отрезок MN. По определению это средняя линия треугольника.
ТЕОРЕМА (свойство средней линии)
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине
Эта теорема тоже доказывается из подобия образовавшихся треугольников: △ABC~△MBN (AB:BM=BC:BN=2:1; ∠B-общий), следовательно АС:MN=2:1, AC||MN.
Теперь видно, что при пересечении медиан и дополнительном построении образовались два треугольника: △AОC и △MON. Эти треугольники подобны (по двум углам, т.к. MN||AC образовались две пары равных накрест лежащих углов):
Запишем отношения сторон подобных треугольников.
AO:ON=CO:OM=AC:MN=2:1
Что и требовалось доказать.
В записи у меня получилось так:
Теперь этим свойством медиан можно пользоваться при решении без дополнительных доказательств, если в задании не звучит необходимость доказательства!
Решение:
Задание 2
Это задание на знание пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.
При проведении высоты в прямоугольном треугольнике на гипотенузу образуются пары подобных треугольников: △AСB~△AHC; △ACB~△BHC; △ACH~△CBH. Подобие всех треугольников можно доказать по "двум углам".
Докажем подобие последней пары.
Из подобия запишем отношения сторон:
Большая трудность возникает у школьников при поиске соответственных сторон. Обратите внимание равные углы на рисунке показала одинаковым цветом. Для записи отношения рассматриваю сторону АН (тр-ка АНС), на ней лежат прямой угол и "зеленый" острый угол. Значит ей будет соответствовать сторона СН (тр-ка СНВ), т.к. на ней лежат прямой угол и "зеленый" острый угол. Аналогично ищем сторону соответствующую стороне СН (тр-ка АНС) по прямому и "фиолетовому" углу в треугольнике СНВ.
Раскроем пропорцию в последнем соотношении сторон:
Этой формулой также можно пользоваться без доказательства, если этого не требует само задание.
Остается записать решение задачи:
Знание соотношения отрезков в треугольниках сильно упрощают решение задач. Умение выводить и доказывать эти соотношения поможет разобраться с принципами построения доказательств для задания 24.
Если вы знаете того, кто готовится к ОГЭ, поделитесь с ним этой информацией. Всегда пригодится.
Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность
(✿◠‿◠)