В этой заметке хочется обсудить полезную литературу по теме численных методов и математического моделирования физических систем. Что ж, тут не всё так однозначно, потому как, что подходит одному человеку, может показаться сложным другому.
Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально алгебраических уравнений [2018] Скворцов
Вся книга посвящена итерационным численным методам для решения систем дифференциальных уравнений, которые получаются при моделирование серьезных математических и физических моделей. В книге подробно описываются одношаговые (Эйлера, Рунге-Кутты, Розенброка) и многошаговые (Адамса, Грина, прогноза-коррекции и др.) методы решения дифференциальных уравнений.
В каждом разделе рассказывается о точности текущего метода, о его сходимости и приводятся примеры решений. Хорошей особенностью является то, что численные решения сравниваются с точными аналитическими решениями. За счет этого делается вывод о возможности использования текущего численного метода для решения реальной физической задачи.
Моя работа связана с моделированием сложных физических систем. Именно поэтому мне нужно четкое понимание работы численных методов при программировании алгоритмов. Существует огромное множество задач, которые не решаются аналитически. Именно в этот момент приходят на помощь итерационные или сеточные численные методы. К примеру, мне приходилось программировать модель релятивистского электронного потока в неоднородных электромагнитных полях. Использовал для моделирования метод Рунге-Кутта 4-го порядка. При дальнейшем исследовании работы, обратил внимание на то, что даже метод Рунге-Кутта 2-го порядка дает довольно точное решение систем дифференциальных уравнений.
В любом случае, для разных задач существуют разные методы. Эта книга будет полезна физикам, перед которыми стоят серьезные задачи моделирования потоков электронов, движения плазмы, распространения коррозии, решения уравнения Гельмгольца, исследования колебаний балки, расчет усиления ЛБВ или какого-либо другого электровакуумного прибора СВЧ и много много других задач реальной физики.
Книга выполнена в твердом переплете на плотной белой бумаге, не смотря на небольшой объем в 230 страниц. Качество форматирования на у ДМК Пресс на высоте: аккуратной форматирование формул и графиков, судя по всему выполненных в редакторе LaTeX.
Подробнее о книге (заказать / купить)
Численные методы [Книга 1] Численный анализ [2013] Калиткин
В учебнике, состоящем из двух книг, изложены основные численные методы решения задач математического анализа, возникающих при исследовании прикладных проблем. Приведенные алгоритмы пригодны для расчетов как на ЭВМ, так и на калькуляторе. Особое внимание уделено нахождению точной оценки погрешности вычислений.
Для студентов учреждений высшего профессионального образования. Может быть полезен аспирантам, преподавателям, научным работникам и инженерам-исследователям, а также лицам, имеющим дело с численными расчетами.
Численные методы [Книга 2] Методы математической физики [2013] Калиткин
В учебнике излагаются основные численные методы решения широкого круга задач математической физики, возникающих при исследовании прикладных проблем. Это обыкновенные дифференциальные уравнения (включая жесткие задачи), уравнения в частных производных и интегральные уравнения. В учебник включены только наиболее эффективные алгоритмы, пригодные как для расчетов на персональных компьютерах, так и для работы на многопроцессорных системах. Для каждого метода даны практические рекомендации по применению. Особое внимание уделено нахождению гарантированной оценки погрешности вычислений. Для лучшего понимания алгоритмов приведены численные расчеты. Для студентов учреждений высшего профессионального образования.
Численные методы [2011] Калиткин
Один из классических учебников. Аппроксимация функций (Интерполяция, Сходимость интерполяционного процесса, Среднеквадратическое приближение, Равномерное приближение) Численное интегрирование (формулы на основе полиномиальной интерполяции, интегралы от разрывных функций, несобственные интегралы, переменные пределы интегрирования, кратные интегралы, статистические методы) Системы линейных алгебраических уравнений (Метод Гаусса и другие прямые методы и итерационные методы, плохо обусловленные системы), Решение нелинейного уравнения и систем нелинейных уравнений. Собственные числа. Обыкновенные диф. уравнения, Задача Коши, Диф. Уравнения в частных производных и др.
Множество численных методов используется в обработке сигналов. Поэтому, если вы хотите разобраться в теме, что можно попробовать начать именно с этого. (Хотя, возможно, это будет сложно для начинающих).
Новая подборка книг по цифровой обработке сигналов, изображений (Вейвлеты) [1969 - 2005][45 книг]
Распознавание изображений с помощью вейвлетов и нейросетей (алгоритмы, примеры кода), алгоритмы сжатия, кластеризации, многомасштабный анализ. Некоторые алгоритмы можно использовать для создания советников на Форекс, а также для написания программ для распознавания лиц, в общем книжки интересны для математиков и программистов (вообще и для радиолюбителей тоже).
Скачать эту подборку цельным архивом
Основы вычислительной математики [1970] Демидович, Марон
Книга посвящена изложению важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского курса высшей математики. Основная часть книги является учебным пособием по курсу приближенных вычислений для втузов. Книга может быть полезна также для лиц, работающих в области прикладной математики.
Цифровая обработка изображений [в 2-х книгах] [1982] Прэтт
Монография крупного американского специалиста в области обработки изображений, который с 1971 по 1980 г. возглавлял институт обработки изображений при Калифорнийском университете в Лос-Анжелесе.
Книга отличается систематичностью и полнотой охвата материала по заданной теме , в ней нашли отражение большинство (но естественно не все!) из известных методов и алгоритмов обработки изображений. Освещаются вопросы математического представления непрерывных и дискретных изображений. В русском переводе монография выпускается в двух книгах.
Книга 1 посвящена вопросам математического представления непрерывных и дискретных изображений. Подробно рассмотрены двумерные преобразования, в том числе преобразования Фурье, Адамара и Карунена-Лоэва.
В книге 2 описываются алгоритмы улучшения, реставрации и анализа изображений, а также способы цифрового кодирования. При рассмотрении процессов реставрации и кодирования широко используются двумерные линейные преобразования, унитарные преобразования и метод сингулярного разложения матриц.
Предназначена для специалистов, имеющих дело с обработкой изображений, а также для студентов, изучающих методы цифровой обработки изображений.
Численные методы [2015] Бахвалов, Жидков, Кобельков
Классический учебник по численным методам, переработанный с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях, упрощены некоторые доказательства. Для студентов и преподавателей вузов, а также для специалистов, использующих численные методы в своей работе. Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений.
Конечно же нужно указать что-то из неоспоримой классики...
Конкретная математика [1998] Грэхем, Кнут, Паташник
Название этой оригинальной как по содержанию, так и по форме книги знаменитых американских математиков можно расшифровать как КОНтинуальная и дисКРЕТНАЯ математика. Прообразом книги послужил раздел „Математическое введение" первого тома фундаментальной монографии Д. Кнута „Искусство программирования для ЭВМ" (1976). Ее назначение - дать читателю технику оперирования с дискретными объектами, аналогичную технике для непрерывных объектов. Название книги можно понимать и буквально — обучение общим методам ведется на многочисленных конкретных примерах и упражнениях разной степени сложности. Все упражнения снабжены ответами.
Кроме того, конкретная математика противопоставляется традиционной абстрактной, в предисловии авторы замечают:
Погоня за обобщениями оказалась столь захватывающей, что целое поколение математиков потеряло способность находить прелесть в частностях, в том числе получать удовольствие от решения численных задач или оценить по достоинству роль математических методов. Абстрактная математика стала вырождаться и терять связь с действительностью — математическое образование нуждалось в конкретном противовесе для восстановления устойчивого равновесия.
Настоящая книга представляет собой попытку учебного изложения ряда действительно фундаментальных математических фактов. Издание ориентировано на потребителя, хотя и теоретики, несомненно, найдут в нем много полезного. Очевидная неполнота курса, отражающая личные вкусы авторов, является скорее достоинством, чем недостатком.
Книгу, без сомнения, можно рекомендовать всем работающим математикам и всем студентам и пользователям математики. Она раскрывает тайну одного феномена американского образования - как превращать малограмотных школьников в прекрасных математиков.
" Термин CONCRETE (означающий также „бетонный") образован слиянием слов cONtinous и disCRETE. Авторы, избегая воды обобщений, на конкретных примерах обучают читателя методам исследования как дискретных, так и непрерывных систем.
Примеры учат не меньше, чем правила. И. М. Гельфанду приписывается высказывание: „Теории приходят и уходят, а примеры остаются" „Конкретная математика" - это и есть тот сухой остаток, который сохраняется при всех поворотах моды и составляет необходимую часть ремесла всякого математика. Созданная Ньютоном и Эйлером, Бернулли и Гауссом, Лейбницем и Дирихле, она оказывается вечно юной и вновь возрождается следующими поколениями математиков.
Настоящая книга представляет собой попытку учебного изложения ряда действительно фундаментальных математических фактов. Издание ориентировано на потребителя, хотя и теоретики, несомненно, найдут в нем много полезного. Очевидная неполнота курса, отражающая личные вкусы авторов, является скорее достоинством, чем недостатком.
Книгу, без сомнения, можно рекомендовать всем работающим математикам и всем студентам и пользователям математики. Она раскрывает тайну одного феномена американского образования - как превращать малограмотных школьников в прекрасных математиков. "
— В.Арнольд, 1998
Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей [1980] Смит Дж. М.
Книга посвящена комплексному моделированию процессов протекающих в различных системах, с помощью цифровых вычислительных машин. Рассмотрены численные методы моделирования непрерывных процессов, высокоточного дифференцирования, интегрирования, разработки оптимальных фильтров. Дан анализ численного моделирования, который приводит к дискретной динамической системе.
Книга предназначена для инженеров и научных работников, занимающихся моделированием процессов. Эта книга о скоростных методах численного моделирования. Некогда разработанные численные методы в основном не изменились в течение длительного времени. Спрашивается, для чего же нужна еще одна книга на столь старую тему? Ответом является само содержание книги.
Шеннон показал, что существует предельное количество информации о непрерывном процессе с конечным числом элементов, которая обеспечивает достаточные знания о его протекании.
Так, при цифровом моделировании непрерывных систем рассматривается применение таких численных методов, которые обеспечивают высокоточную надежную информацию о моделируемой системе. В связи с этим в книге обсуждаются численные методы, обеспечивающие точное моделирование непрерывных систем или процессов при наименьшем числе выбранных параметров и наименьшем объеме вычислений.
Следует отметить, что немногие из численных методов являются и точными и экономичными. За исключением классических численных методов, включенных для полноты изложения, методы, изложенные в данной книге, относятся к периоду после 1959 года. При этом большинство из них, относящихся в особенности к моделированию нелинейных систем, было разработано в середине или начале 70-ых годов.
К современным численным методам относятся эффективные скоростные алгоритмы, обеспечивающие при реализации:
— уменьшение стоимости моделирования при одновременной многопараметрической обработке информации;
— высокоточное моделирование и управление в реальном масштабе времени:
— потенциальную устойчивость в процессе моделирования;
— высокую точность промежуточных операций;
— устойчивую связь параметров моделируемой системы и модели;
— использование стандартных числовых интеграторов, хорошо «настраиваемых» на решение системы уравнений;
— применение новых численных методов, которые не могут быть заменены эквивалентными классическими методами;
— идеальное использование цифровых BM с ограниченной емкостью, таких, как 16-битовые микропыоторы, и более современных 8-битовых микропроцессоров.
В данной книге предлагается методика математического моделирования непрерывных и дискретных систем. Тема этой книги была навеяна большим количеством семинаров и лекций, проведенных в США, которые подвели меня, если не к необходимости, то, во всяком случае, полезности углубленного обзора понятий математического моделирования непрерывных и дискретных систем.
Численные методы для физиков-теоретиков (1 и 2) [2004] Ильин, Силаев
Данное пособие основано на лекциях и практических занятиях по курсу численных методов для будущих физиков-теоретиков. Основная цель книги состоит в рассмотрении понятных и достаточно простых в написании алгоритмов, ориентированных главным образом на решение типичных задач теоретической физики и являющихся, безусловно, необходимой частью арсенала любого физика-теоретика. Для студентов физических специальностей.
Метод конечных элементов. Основы [1984] Галлагер Р.
Книга написана крупным американским ученым, одним из разработчиков известного метода конечных элементов. В ней глубоко и всесторонне рассмотрены вопросы применения МКЭ и вариационного подхода к задачам теории упругости. Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов, специализирующихся по прикладной и вычислительной математике, механике деформируемого твердого тела.
И еще добавлю одну хорошую книгу, которая мне понравилась на начальном этапе, с которой я разбирался с численными методами. Единственный минус был язык алгоритмов - MATLAB, но это не помешало мне переписывать программы на нужный мне Delphi и C.
Численные методы. Использование MATLAB [2001] Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк
В данной книге, ориентированной на пакет MATLAB, изложены основные методы численного анализа: численные решения нелинейных уравнений, систем линейных уравнений, дифференциальных уравнений и т. д. Все методы иллюстрируются примерами, в которых используютсяпрограммы из пакета MATLAB. Книга также содержит приложение, которое знакомит читателя с основными принципами построения пакета MATLAB. Книга рассчитана на студентов технических вузов, прослушавших курс высшей математики и имеющих представление о программировании. Ее целесообразно использовать как учебник при чтении курсов, посвященных численным методам. Книга выдержала три издания и широко используется в высших учебных заведениях США и других стран.
Еще много книг по теме численных методов можно найти ЗДЕСЬ
Еще ресурс в telegram-канале, целая библиотека с книгами для физиков, математиков и разработчиков: Physics.Math.Code @physics_lib
А какие книги по вычислительной математике посоветовали бы вы? Напишите в комментариях
Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:
Репетитор IT mentor в Instagram
Physics.Math.Code в контакте (VK)
Библиотека с книгами в telegram