Итак, пришло время показать решение задач опубликованных на прошлой неделе. Надеюсь все желающие успели насладиться ими.
Задача 1
Какое время было спустя 2011 минут после полуночи 1 января 2011 года?
Переведём 2011 минут в часы, для этого разделим 2011 на 60. Получим 33 часа и 31 минуту. Теперь выделим целое количество суток. Разделим 33 на 24, получим 1 сутки и 9 часов. Значит с полуночи 1 января 2011 года прошли 1 сутки 9 часов и 31 минут. И правильный ответ: 2 января 9:31.
Задача 2
На рисунке изображены 4 равных квадрата, каждый из них разделен на равные квадраты или прямоугольники. Какой процент от общей площади всех квадратов составляет сумма площадей выделенных жирным частей?
Сначала посчитаем какую часть занимает от каждого квадрата выделенная область и найдём их сумму.
Значит выделенные части составляют целый квадрат, а так как всего квадратов четыре, то получаем правильный ответ - 25%.
Задача 3
Прямоугольный коврик составлен из трех частей разных цветов (см. рис). Площади этих частей составляют арифметическую прогрессию. Ширина внутренней части равна 1, размеры каждой следующей части на 1 больше во всех направлениях. Найдите длину внутренней части.
Так как у нас есть условие для площадей всех частей, то выразим их, обозначив неизвестную длину переменной x.
Так как площади составляют арифметическую прогрессию, можем воспользоваться характеристическим свойством.
Решив полученное уравнение, выясним, что х = 2.
Задача 4
Треугольник АВС, вершины которого имеют координаты А(0; 2), В(-3; 2), С(-3; 0), симметрично отобразили относительно оси x, получили треугольник A'B'C'. Затем поворотом на 90° относительно начала координат против часовой стрелки его перевели в треугольник A''B''C''. Каким преобразованием можно перевести треугольник A''B''C'' обратно в треугольник АВС?
Изобразим исходный треугольник и выполним все преобразования.
Дальше подключаем воображение, чтобы понять как вернуть треугольник в исходную позицию. Или перебираем все варианты ответа и находим правильный ответ: симметрия относительно прямой y = x.
Задача 5
Для некоторого комплексного числа с многочлен:
имеет ровно 4 различных корня. Найдите |c|.
Так как многочлен разложен в произведение трёх множителей, то сначала исследуем первый и последний на количество корней.
Как видно, четыре различных корня уже есть, а значит оставшийся множитель не должен иметь корней, что невозможно в множестве комплексных чисел или его корни должны быть равны уже найденным. Раз мы знаем корни квадратного уравнения, можем воспользоваться теоремой Виета. Произведение корней должно равняться 4, значит у нашего уравнения могут быть корни 1 + i и 2 - 2i или 1 - i и 2 + 2i. Найдем чему равно с.
Получили два возможных значения, но так как эти числа сопряженные, их модули будут равны. И получаем правильный ответ: √10
Задача 6
Цифры от 1 до 9 были случайным образом размещены в квадрате 3⨯3. Какова вероятность, что сумма чисел в каждом столбце и каждой строке нечетная?
Воспользуемся формулой для числа перестановок, чтобы узнать общее количество квадратов, которые мы можем получить: 9!.
Теперь нужно понять, в каком случае суммы будут нечетные. Это возможно, если мы складываем три нечетных числа или два четных и одно нечетное. Значит, нужные нам квадраты могут содержать только строки и столбцы вида: (ч ч н) или (н н н). Так как в последовательности чисел от одного до девяти 5 нечетных чисел и 4 четных, возможна только комбинация с четырьмя строками/столбцами вида (ч ч н) и с двумя вида - (н н н). Находим общее количество таких возможностей: 4! * 5! * 9. Теперь вычислим вероятность и получим правильный ответ - 1/14.