Приветствую всех на своём канале. Предлагаю вашему вниманию разбор довольно сложной системы уравнений с параметром.
Если по ходу решения у вас возникают вопросы, пишите их в комментарии.
Давайте по порядку: решим сначала уравнение не зависящее от параметра.
Что бы не пытаться что-то сгруппировать, я всегда поступаю так: одно принимаю за переменную, второе за константу.
Немного подробнее: Способ группировки имеет место быть, но способ на картинке универсален и прост. В данном случае, мы приняли "у" за переменную, а "х" за константу. И решили это уравнение относительно "у".
После разложение понимаем, что это 2 пересекающиеся прямые. Приступим к изучения 2 уравнения этой системы.
Тут самое простое, что можно сделать - выразить "у". Это мы и проделываем и получаем типичное уравнение параболы, "размах" ветвей которой зависит от "а". Важно заметить, что вершина параболы не зависит от "а". От этого мы будем отталкиваться при построении графиков. Как обычно, рассматриваем 3 ситуации для "а" и переходим к построению.
Рассмотрим первый случай а=0.
При а=0, как видно из построенных графиков, будет только 2 решения, значит, а=0 нас не устраивает.
Перейдём к более интересным случаям. Рассмотрим 2 случай а больше 0.
Итак, при а больше 0 у нас будет парабола с ветвями вверх. Важно понять, парабола может пересечь каждую прямую дважды. Прямую у=-2х+3 парабола всегда пересечёт дважды. Поэтому, что бы было 4 решения, нам важно что бы парабола пересекла прямую у=х-3, т.е что бы они имели 2 общие точки.
Запишем для этого условия систему и решим её.
В уравнения параболы подставляем уравнение прямой и получаем квадратное уравнение с параметром. Для его решения находим дискриминант и, что бы у нас было 2 решения, он обязательно должен быть больше 0. Вот первая часть нашего ответа, с учетом того, что мы находимся в случае а больше 0.
Перейдем к 3 случаю а меньше 0.
При а меньше 0 у нашей параболы ветви будут вниз. Теперь очевидно, что она всегда будет пересекать прямую у=х-3. Как и во 2 случае, что бы у нас было 4 решения, мы должны потребовать, что бы парабола пересекала уже прямую у=-2х+3.
Абсолютно аналогично решаем эту систему и, с учётом условия а меньше 0, записываем решение.
Мы забыли проверить ещё кое что. Если посмотреть на график 2 случая а больше 0, можно заметить, если парабола проходит через точку пересечения двух прямых, то там будет 3 решения. Нам нужно эту точку исключить.
Находим эту точку, подставляем в уравнение параболы и находим "а". Можно записать ответ.
Если остались какие-то вопросы или было что-то непонятно - обязательно пишите в комментарии, постараюсь всем ответить.
Если решение вам понравилось - поставьте лайк и напишите что-нибудь доброе в комментариях, автору будет приятно.
Ставьте лайки, пишите комментарии, делитесь с друзьями и подписывайтесь на канал, тут будет много интересного.