Пару лет назад я готовила к очередным экзаменам небольшую группу старшеклассников, и дело дошло до повторения теории вероятности. Поскольку группа подобралась разумная, я думала, что эту тему проедем быстро, ибо ну что там сложного-то на школьном уровне. Накануне занятия я составила список задач, включив, в частности, такую:
Как известно, из тысячи экстрасенсов только один настоящий. Лично Вы настолько проницательны, что в 9 случаях из 10 правильно определяете, является ли экстрасенс настоящим, причём Ваша интуиция абсолютно объективна и не зависит от конкретного кандидата.
а) Какова Ваша вероятность встретить и опознать настоящего экстрасенса?
б) Вам кажется, что этот экстрасенс настоящий. Во сколько раз вероятность того, что он настоящий, меньше вероятности того, что он шарлатан?
в) Какова вероятность того, что Вы примете случайного экстрасенса за настоящего?
После того как три вполне разумных юноши независимо дали ответы "1/1000, в девять раз больше, 9/1000", я крепко задумалась. И поняла, что вероятность, кажется, требует дополнительных пояснений.
Пишем то же самое, но красиво
Вероятность в математике традиционно обозначается буквой Р (probability), а в скобках указывается событие, вероятность которого мы считаем. Если событий несколько, то обычно их обозначают буквами. Например, в рамках нашей задачи:
Х = "экстрасенс настоящий"
не Х = "экстрасенс фальшивый"
У = "я правильно определил качество экстрасенса"
не У = "я ошибся"
Р(Х) = 1/1000, Р(не Х) = 999/1000
Р(У) = 9/10, Р(не У) = 1/10
События: сильные и независимые
Понятие независимости событий является одним из центральных, и, по-хорошему, определяется через формулы с использованием условной вероятности. Но мы пока так делать не будем и ограничимся интуитивным пониманием словосочетания "не зависят друг от друга". Например, второй бросок монетки никак не зависит от первого.
Для большинства событий вообще-то не очевидно, являются они независимыми или нет, но в рамках нашей задачи есть важное уточнение: "Ваша интуиция абсолютно объективна и не зависит от конкретного кандидата", что позволяет говорить о том, что X и У независимы.
Чем это хорошо? Тем, что для независимых событий работает отличная формула (её можно понимать как определение независимости, хотя обычно оно немного иное):
P(А и В) = Р(А)Р(В)
Почему этой формуле можно верить? Потому что если в мире чему-то и можно вообще верить, то только математическим формулам.
Представим себе, что у нас есть миллион экстрасенсов. Из них 1000 настоящих. Лирический герой задачи ходит среди этой толпы и высказывает свои суждения, причём выясняется, что он прав в 9 случаях из 10. То есть, он определил верно 900 тысяч экстрасенсов. Замечание о независимости нужно для того, чтобы утверждать, что среди правильно определённых нашим героем экстрасенсов соотношение магов к фрикам осталось неизменным: 1 к 999. Тогда мы можем посчитать, что среди этих 900 тысяч настоящих 900. То есть, вероятность случайно ткнуть пальцем в одного из них равна 900/1000000 = 9/10000, и этот же результат можно получить, записав формулу:
Р(Х и У) = Р(Х)Р(У) = 1/1000 * 9/10 = 9/10000
Поздравляю, мы решили пункт а!
Какова Ваша вероятность встретить и опознать настоящего экстрасенса? Ответ: 9/10000 = 0,0009.
Рассуждаем дальше. Вспомним о тех 100 тысячах экстрасенсах, на которых герой всё-таки ошибся. Из них 100 настоящих (которых он посчитал шарлатанами) и 99900 фриков (которых он принял за настоящих). Таким образом, вероятность случайно ткнуть пальцем во фрика, на котором ошибся герой, равна 99900/1000000 = 999/10000. Эту же вероятность можно получить по формуле (в наших обозначениях):
Р(не Х и не У) = Р(не Х)Р(не У) = 999/1000 * 1/10 = 999/10000 = 0,0999
Это число в 111 раз больше ответа к пункту а.
Вам кажется, что этот экстрасенс настоящий. Во сколько раз вероятность того, что он настоящий, меньше вероятности того, что он шарлатан? Ответ: в 111 раз.
Осталось разобраться с пунктом в. Скольких экстрасенсов лирический герой посчитал настоящими? Из 900 тысяч правильно определённых есть 900 настоящих, а среди 100 тысяч неверно определённых 99900 названы настоящими (хотя таковыми не являются). Всего названы настоящими 100800 экстрасенсов, и вероятность встретить одного из них равна 100800/1000000 = 1008/10000 = 0,1008, то есть, примерно каждый десятый. Красивые формулы:
Р(Х и У) = Р(Х)Р(У) = 1/1000*9/10 = 9/10000 = 0,0009
Р(не Х и не У) = Р(не Х)Р(не У) = 999/1000 * 1/10 = 0,0999
Р("я назвал экстрасенса настоящим") = 0,0009 + 0,0999 = 0,1008
Какова вероятность того, что Вы примете случайного экстрасенса за настоящего? Ответ: 0,1008.
Заметим, что для лирического героя вероятность ошибки практически равна вероятности признать экстрасенса настоящим. Но автор математике учит, автор ни на что не намекает.
Понравилась задача? Очень много понятий теории вероятности осталось пока за бортом. Разобрать ли что-нибудь посложнее?
В комментариях также можно оставить свои идеи для задач на вероятность или другие темы.