Теория вероятностей кажется достаточно очевидной. Ну вот есть у нас монетка, мы её подбрасываем. Примерно в половине случаев выпадает орёл, в другой половине - решка, значит, вероятность выпадения каждого из этих результатов 1/2 (очень все любят говорить про 50%, но для меня большая загадка, зачем обыкновенные дроби непременно приводить к знаменателю 100). Получается неплохое такое численное выражение нашей интуиции. Однако стоит усложнить задачу совсем чуть-чуть, как результаты вычислений становятся на порядок менее очевидными. В этой статье разберёмся с одним таким примером.
Парадокс дней рождения
Вопрос формулируется просто.
Какое минимальное число людей должно быть в компании, чтобы совпадение дней рождения хотя бы у двоих из них было более вероятным, чем отсутствие таких совпадений?
Представим себе, что люди заходят в комнату по очереди и посмотрим, что будет происходить с вероятностью совпадений. Временно забьём на високосные года, потому что вероятность родиться 29 февраля не совпадает с вероятностью родиться в любой другой день.
Если в комнате один человек, совпасть ему не с кем. Вероятность отсутствия совпадений равна 1, их наличия - 0. У этого человека есть 1 день рождения и 364 дня не-рождения.
Вот в комнату заходит второй человек. Вероятность того, что его день рождения совпадёт с первым равна 1/365. Вероятность отсутствия совпадений - 364/365. Если эти двое не совпали, то у них вместе два дня рождения и 363 дня не-рождения.
А теперь в комнату входит третий человек. Найдём вероятность того, что у троих собравшихся не будут совпадать дни рождения. Заметим, что для этого нужно, чтобы они не совпали у первых двух, то есть, чтобы мы попали в 364/365 из предыдущего пункта. Тогда новому человеку, чтобы ни с кем не совпасть, нужно родиться в один из 363 дней не-рождения. Получаем вероятность несовпадения для троих людей: 364/365 * 363/365 ~ ~ 0,992. Вероятность совпадения находим вычитанием 1 - 0,992 ~ 0,008.
Приводим в комнату четвёртого человека. Чтобы все родились в разные дни, нужно, во-первых, чтобы не совпали первые трое, а во-вторых, чтобы четвёртый родился в один из оставшихся 362 дней. Итого вероятность отсутствия совпадений 364/365 * 363/365 * 362/365 ~ 0,984. Вероятность совпадения 1 - 0,984 = 0,016.
Продолжаем в том же духе и получаем следующие результаты (можете самостоятельно проверить на калькуляторе или листочке):
5 человек: Вероятность отсутствия совпадений ~ 0,973, их наличия ~ 0,027
10 человек: Вероятность отсутствия совпадений ~ 0,905, их наличия ~ 0,095
15 человек: Вероятность отсутствия совпадений ~ 0,747, их наличия ~ 0,258. Обратите внимание, вероятность совпадения составляет уже больше четверти!
20 человек: Вероятность отсутствия совпадений ~ 0,589, их наличия ~ 0,411. Приближаемся к половине! И, наконец, катарсис!
23 человека: Вероятность отсутствия совпадений ~ 0,493, их наличия ~ 0,507.
Почему же так происходит? Интуитивно нам кажется, что каждый новый человек меняет искомую вероятность одинаково, но это не так. Каждый вновь прибывший добавляет к тому произведению, которое мы считаем, новую дробь. Знаменатель этой дроби всегда 365, а вот числитель всё время уменьшается. В итоге знаменатель произведения растёт с каждым новым человеком всё быстрее и быстрее, а числитель - медленнее и медленнее, в итоге вся дробь начинает уменьшаться очень быстро (посмотрите на приведённые числа, там хорошо виден этот разгон).
И как нам это пригодится в жизни?
Во-первых, это забавно. Интеллектуальное удовольствие превыше всего!
Во-вторых, этот пример показывает, насколько можно доверять интуиции. Если вам что-то кажется, но числа большие, - лучше пересчитайте.
В-третьих, это же ответ на популярный вопрос: "И почему мне вечно так не везёт?!"
Мой супруг очень любит коллекционную карточную игру Magic the Gathering и, играя в неё, регулярно оглашает квартиру восклицаниями о чрезмерной удачливости своих оппонентов. Одно из них он сформулировал примерно так:
В колоде соперника 2 из 60 карт дают ему огромное преимущество. Но разыграть любую из них можно не раньше 7 хода. Колода перемешана в случайном порядке. На начало игры на руках у игрока 7 карт, в среднем за ход он добирает из колоды ещё по две карты. И представляешь, уже вторую игру подряд ровно на 7 ходу он этой картой меня и убивает!
Сели мы посчитать вероятность (схема, как вы понимаете, примерно как с днями рождения) и выяснилось, что за семь ходов противник получит свою карту с вероятностью примерно 0,463. То есть, в целом, более странно было бы, если бы он её не вытянул.
Хотелось бы закончить эту историю тем, что супруг перестал расстраиваться из-за проигрышей, но увы. Но зато теперь все мы расстраиваемся более осознанно, чего и вам желаем!