Была у нас в школе контрольная, состояла из одной задачи. Разные варианты, задания для переписывания контрольной — везде была одна и та же задача, условие которой порождало столько вопросов, что на несколько контрольных хватит.
Задача
В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность. Проведена DE — касательная к этой окружности, параллельная основанию. В треугольник DBE тоже вписана окружность.
Даны радиусы окружностей: R и r. Надо найти всевозможные отрезки в этой конструкции.
Среднее геометрическое
Давайте сначала забудем про весь треугольник и разберемся, что же происходит, если две окружности касаются друг друга и у них есть общая внутренняя и общая внешняя касательные. Заодно найдем DE.
Треугольник NEO — прямоугольный. Это потому что EN — биссектриса угла IEG (окружность вписана в угол), EO — биссектриса угла KEG. Углы IEG и KEG — смежные, значит угол NEO — прямой.
EG — высота в прямоугольном треугольнике NEO. Значит EG²=R·r, а DE=2EG=2·sqrt(R·r)
(Здесь и дальше sqrt(x) означает квадратный корень из х)
Второй прямоугольный треугольник
Оказывается, в этой конструкции есть еще один прямоугольный треугольник.
У треугольника GIK медиана равна половине стороны, к которой она проведена (потому что отрезки касательных равны), значит он прямоугольный. Отсюда сразу IK = 2GE=DE= 2·sqrt(R·r)
Дальше сплошное подобие
Найдем, например, BN. Треугольники BNI и BOK подобны, поэтому
BN/(BN+R+r)=r/R
Отсюда находим BN=r(R+r)/(R-r)
Задание для читателей
Найдите любые из отрезков: BI, BE, BK, BC, AC, HI, JK, BG, BF, NE, OE, OC...
Как видите, заданий тут много можно придумать.
Благодарности
Спасибо большое Татьяне Юрьевне Сысоевой, подарившей мне эту задачу в моем восьмом классе.
Я тут долго высчитывала всё по Пифагору, получала громадные ответы, ошибалась в них. А потом поняла однажды, как работает подобие, и справилась с этой контрольной одной задачи.