Неравенства дают нам пространства для действий куда как больше чем равенства (в том числе уравнения), поэтому и задачи на неравенства часто имеют интересные решения. Предыдущие задачи по теме: Задача 66, Задача 61.
Условие:
По кругу расставлены 5 чисел. Известно, что любое число не меньше суммы двух соседних с ним чисел и не больше суммы дух несоседних с ним чисел. Какие это могут быть числа?
Решение:
Обозначим числа a, b, c, d, e. Тогда по условию S=a+b+c+d+e≥ (e+b)+(a+c)+(b+d)+(c+e)+(d+a)=2S. Значит S≤0. С другой стороны S≤(c+d)+(d+e)+(e+a)+(a+b)+(b+c)=2S, то есть S≥0. Отсюда S=0. Тогда a=a+S=(a+b)+(c+d)+(e+a)≥d+a+c≥a+a, то есть a≤0.
Аналогично получаем, что и все остальные числа неположительны. Но их сумма равна 0. Значит они все равны нулю.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!