Неравенства дают нам пространства для действий куда как больше чем равенства (в том числе уравнения), поэтому и задачи на неравенства часто имеют интересные решения. Предыдущие задачи по теме: Задача 66, Задача 61. Условие: По кругу расставлены 5 чисел. Известно, что любое число не меньше суммы двух соседних с ним чисел и не больше суммы дух несоседних с ним чисел. Какие это могут быть числа? Решение: Обозначим числа a, b, c, d, e. Тогда по условию S=a+b+c+d+e≥ (e+b)+(a+c)+(b+d)+(c+e)+(d+a)=2S. Значит S≤0. С другой стороны S≤(c+d)+(d+e)+(e+a)+(a+b)+(b+c)=2S, то есть S≥0. Отсюда S=0. Тогда a=a+S=(a+b)+(c+d)+(e+a)≥d+a+c≥a+a, то есть a≤0. Аналогично получаем, что и все остальные числа неположительны. Но их сумма равна 0. Значит они все равны нулю. Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
Неравенства дают нам пространства для действий куда как больше чем равенства (в том числе уравнения), поэтому и задачи на неравенства часто имеют интересные решения. Предыдущие задачи по теме: Задача 66, Задача 61.
Условие:
По кругу расставлены 5 чисел. Известно, что любое число не меньше суммы двух соседних с ним чисел и не больше суммы дух несоседних с ним чисел. Какие это могут быть числа?
Решение:
Обозначим числа a, b, c, d, e. Тогда по условию S=a+b+c+d+e≥ (e+b)+(a+c)+(b+d)+(c+e)+(d+a)=2S. Значит S≤0. С другой стороны S≤(c+d)+(d+e)+(e+a)+(a+b)+(b+c)=2S, то есть S≥0. Отсюда S=0. Тогда a=a+S=(a+b)+(c+d)+(e+a)≥d+a+c≥a+a, то есть a≤0.
Аналогично получаем, что и все остальные числа неположительны. Но их сумма равна 0. Значит они все равны нулю.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!