Аднак, калі вы маглі б дадаць новае вымярэнне да тору (альбо дадаць новую ступень свабоды дынамічнай сістэме), то спіраль можа перайсці праз сябе альбо пад сябе, перайшоўшы ў новае вымярэнне. Плецеючы вакол сябе, траекторыя можа стаць хаатычнай, а мноства траекторый можа змяшацца як міска з спагецці. Гэта можа быць крыху цяжка ўявіць, асабліва ў больш высокіх вымярэннях, але Арнольд думаў пра вельмі простае матэматычнае адлюстраванне, якое фіксуе істотнае рух на торы, захоўваючы аб'ём, неабходны для гамільтонскай сістэмы, але з магчымасцю рэгіёнаў стаць усімі пераблытаны, як і траекторыі ў неінтэграванай гамільтонскай сістэме.
Адзінкавы квадрат ізаморфны двухмернаму тору. Гэта азначае, што адлюстраванне кожнай кропкі на адзінку квадрата да кожнай кропкі на паверхні тора. Уявіце сабе, узяўшы ліст паперы і склаўшы з яго трубку. Адзін з памераў ліста паперы - гэта кутняя каардыната, якая з'яўляецца цыклічнай, якая ідзе вакол акружнасці трубы. Цяпер, калі аркуш паперы з'яўляецца гнуткім (напрыклад, ён зроблены з тонкай гумы), можна сагнуць трубку вакол і злучыць верхнюю частку трубкі з дном, як унутраная труба ровара. Іншае вымярэнне аркуша паперы - гэта таксама цыклічная кутняя каардыната. Такім чынам плоскі ліст пераўтвараецца (з некаторым выгібам) у торус.
Рэцыдыў
Калі матрыца пераўтварэння ўжываецца да бесперапынных значэнняў, яна стварае бесперапынны дыяпазон трансфармаваных значэнняў, якія становяцца тонкімі і танчэйшымі, пакуль адзінкавы квадрат раўнамерна не змешваецца. Аднак, калі адзінкавы квадрат дыскрэтны, які складаецца з пікселяў, то здараецца нешта зусім іншае. Вобраз кошкі ў гэтым выпадку складаецца з масіва 50 × 50 пікселяў. Для ранніх ітэрацый малюнак становіцца расцягнутым і змешаным, але пры ітэрацыі 50 існуе 4 вертыкальныя версіі кошкі з нізкім дазволам, а пры ітэрацыі 75 кошка цалкам рэфармуецца, але перавернутая ўніз. Працягваючы далей, котка ў выніку зноў з'яўляецца цалкам рэфармаванай і вертыкальнай пры ітэрацыі 150. Такім чынам, дыскрэтны выпадак выяўляе рэцыдыў, і адлюстраванне адбываецца перыядычна. Разлік перыяду карты кошкі на рашотках можа прывесці да цікавых узораў, асабліва калі рашотка складаецца з простых лікаў.
Карта котак і Залатая сярэдзіна
Залатая сярэдзіна, альбо залаты каэфіцыент, 1.618033988749895 ніколі не далёка пры працы з гамільтонскімі сістэмамі. Паколькі залатая сярэдзіна з'яўляецца "самым нерацыянальным" з усіх ірацыянальных лікаў, яна гуляе істотную ролю ў тэорыі КАМ па стабільнасці Сонечнай сістэмы. У выпадку з картай котак Арнольда яна выскоквае галавой некалькімі спосабамі.
Выбраныя публікацыі В. I. Арнольда
- Арнольд, В. I. "ФУНКЦЫІ 3 ВАРАБАБЛІЙ". Даклад Акадэміі навук, 114 (4): 679-681. (1957 г.)
- Арнольд, В. I. "Генерацыя квазі-перыёдычнага руху з сям'і перыёдычных рухаў". Doklady Akademii Nauk Sssr 138 (1): 13-. (1961)
- Арнольд, В. I. "Устойлівасць становішча раўнапраўнай гамільтонаўскай сістэмы звычайных дыферэнцыяльных узроўняў у агульных эліптычных выпадках". Doklady Akademii Nauk Sssr 137 (2): 255-. (1961)
- Арнольд, В. I. "ПАВЕДАМЛЕННЕ АДІАБАТЫЧНАГА ІНВАРІАНТНАГА, КОГА ФУНКЦІЯ ГАМІЛЬТОНІЎ ПАДРУЖАЕ НІЖНУЮ ПЕРІАДЫЧНУЮ ВАРІАЦЫЮ". Doklady Akademii Nauk Sssr 142 (4): 758- &. (1962)
- Арнольд, В. I. "КЛАСЫЧНАЯ ТЭОРІЯ ПЕРТУРБАЦЫЙ І ПРАБЛЕМА СТАБІЛЬНАСЦІ ПЛАНЕТАРНЫХ СІСТЭМ". Даклады Акадэміі навук. (1962)
- Арнольд, В. I. "ПАВЕДАМЛЕННЕ АДІАБАТЫЧНАГА ІНВАРІАНТНАГА, КОГА ФУНКЦІЯ ГАМІЛЬТОНІЎ ПАДРУЖАЕ НІЖНУЮ ПЕРІАДЫЧНУЮ ВАРІАЦЫЮ". Doklady Akademii Nauk Sssr 142 (4): 758- &. (1962)
- Арнольд, В. I. і Я. Г. Сінай. "МАЛЬКІ ПЕРТУРБАЦЫІ АЎТАМАРФІЗМАЎ МЕСТА". Doklady Akademii Nauk Sssr 144 (4): 695- &. (1962)
- Арнольд, В. I. "Малыя назоўнікі і праблемы ўстойлівасці руху ў класічнай і нябеснай механіцы (на рускай мове)". Мат. Наук. 18: 91-192. (1963)
- Арнольд, В. I. Крылоў і А. Л. "УНІФОРМАЛЬНАЕ РАЗПРЕДЕЛЕННЕ БЫСТАЎ НА СФЕРЫ І НЕЧАЙНЫХ ЭРГОДЫЧНЫХ УЛАСЦІВАЎ РАШЭННЯЎ ДЛЯ ЛІНІЙНЫХ ЗАРАДНЫХ РАЗЛІЧНЫХ РАЎНІКАЎ У КОМПЛЕКСКІМ РЭГІОНІ". Doklady Akademii Nauk Sssr 148 (1): 9- і. (1963)
- Арнольд, В. I. "НЕСТАВІЛЬНАСЬЦЬ ДЫНАМІЧНЫХ СІСТЭМ З МЯЛІМ СТРАДАМ СВАБОДЫ". (1964)
- Арнольд, В. "SUR UNE УЛАСНЫЯ ТОПАЛОГІЧНЫЯ ПРЫЯЛЕННІ ДЛЯ ГЛОБАЛЕМЕНТСКІХ КАНАНІКАЎ ДЭ ЛА МЕКАНІКАВЫ КЛАСІК." Comptes Rendus Hebdomadaires Des Seances De L Academie Des Sciences 261 (19): 3719- &. (1965)
- Арнольд, В. I. "УМОВЫ ПРЫМЕЖАННІ І АПАРАМАНА ПАМЯРКІ ПАСЛУШЭННЕ ДЛЯ СІСТЭМ, ЯКІХ ПРАГАДАЮЦЬ ПРАГРАМНЫЯ РЭЗОНАНСЫ У КУРСЕ ЭЛЮЦЫІ". Doklady Akademii Nauk Sssr 161 (1): 9- &. (1965)