Дафінг быў практычным інжынерам і матэматычным, і ён ствараў эксперыментальныя сістэмы для праверкі сваіх рашэнняў. Інжынерны чарцёж эксперыментальнага выпрабавальнага прыбора паказаны на мал. 4. Малы маятнік для выпрабаванняў знаходзіцца на малюнку S. Маятнік з вялікім узроўнем B - гэта кіданне маятніка, абранае значна цяжэй, чым выпрабавальны маятнік, дзякуючы якому ён можа даваць устойлівую гарманічную сілу праз спружыну F1 да выпрабавальнай сістэмы. Кубічная нелінейнасць тэставай сістэмы кантралявалася шляхам выбару даўжыні выпрабавальнага маятніка, а квадратычная нелінейнасць (асіметрыя) кантралявалася, дазваляючы зрушыць кут раўнавагі ад вертыкалі. Адносная сіла квадратнага і кубічнага выражэнняў рэгулявалася шляхам змены становішча масы на атрыманую Г. Дафінга выразы для ўсіх каэфіцыентаў ураўненняў на мал. 1 у эксперыментальна кіраваных пераменных. Карыстаючыся гэтым апаратам, Даффінг правяраў да поўнай дакладнасці свае рашэнні для розных асаблівых выпадкаў.
Кніга Даффінга - шэдэўр стараннага сістэматычнага расследавання, пачынаючы з агульных слоў, а потым разбіваючы праблему на свае асаблівыя выпадкі, знаходзячы рашэнні для кожнага з дакладнымі эксперыментальнымі праверкамі. Гэтыя атрыбуты ўстанавілі значэнне гэтага маленькага буклета ў гісторыі навукі і тэхнікі, але, паколькі ён быў напісаны на нямецкай мове, большасць ранніх цытат былі зроблены нямецкімі навукоўцамі. Першае выкарыстанне імя Дафінга, звязанае з нелінейнай асцылятарнай праблемай, адбылося ў 1928 г. [2], як і першая спасылка на яго ў працы на англійскай мове ў кнізе Цімашэнкі [3]. Першае выкарыстанне фразы «Ураўненне Дафінга» спецыяльна для апісання асцылятара з лінейнай і кубічнай аднаўленчай сілай адбылося ў 1942 г. у серыі лекцый, прадстаўленых у Універсітэце Браўна [4], і гэтая наменклатура была створана да канца гэтага дзесяцігоддзя [5]. Хоць Даффінг у сваёй кнізе ўдзяліў значную ўвагу квадратычным тэрмінам для асіметрычнага асцылятара, тэрмін "ураўненне Дафінга" цяпер ставіцца да праблемы ўзмацнення і змякчэння, а не да асіметрычнай.
Дафінг зноў адкрыты
Нелінейныя ваганні заставаліся галоўным чынам у сферы машынабудавання амаль паўстагоддзя, пакуль шырокі спектр фізічных навукоўцаў не пачаў выяўляць глыбокія сакрэты, якія хаваліся за простымі ўраўненнямі. У 1963 годзе Эдвард Лорэнц (1917 - 2008) з MIT апублікаваў дакумент, у якім паказана, як простыя нелінейнасці ў трох раўнаннях, якія апісваюць атмасферу, могуць стварыць дэтэрмінаванае паводзіны, якое аказалася абсалютна хаатычным.
Навіны гэтай працы распаўсюдзіліся, калі даследчыкі ў многіх, здавалася б, не звязаных між сабой галінах пачалі бачыць падобныя подпісы ў хімічных рэакцыях, турбулентнасці, электрычных ланцугах і механічных асцылятарах. У 1972 г., калі Лорэнца запрасілі пагаварыць пра "Эфект матылькоў", навука аб хаосе з'явілася як новая мяжа ў фізіцы, і ў 1975 годзе Джэймсам Ёрк назваў "тэорыяй хаосу" (1941 -). Да 1976 г. гэта стала адной з самых гарачых новых абласцей навукі.
У перыяд узнікнення тэорыі хаосу, асцылятар Дафінга быў вядомы адным з архетыпічных нелінейных асцылятараў. Асабліва прывабным аспектам агульных ураўненняў Дафінга з'яўляецца магчымасць вывучэння патэнцыялу "двайны калодзеж". Гэта адбываецца, калі "альфа" ў раўнанні на мал. 5 адмоўнае і "бэта" станоўчае.
Патэнцыял падвойнай лункі мае доўгую гісторыю ў фізіцы, як класічнай, так і сучаснай, таму што ён уяўляе сабой "двухбаковую" сістэму, якая праяўляе бістабільнасць, біфуркацыі і гістэрэзіс. Для фіксаванай "бэта" патэнцыяльная энергія ў залежнасці ад "альфа" паказана на мал. 6. Каскады біфуркацыі ў раўнанні Дюфінга з падвойнай лункай даследавалі Філіп Холмс (1945 -) у 1976 годзе [6] і ўласцівасці дзіўнага атрактара былі прадэманстраваны ў 1978 годзе [7] Ёсісуке Уедай (1936 -). Холмс і іншыя працягвалі дэталёвую працу над хаатычнымі ўласцівасцямі асцылятара Даффінга, дапамагаючы зрабіць яго адной з самых знакавых сістэм тэорыі хаосу.
Код Python для асцылятара
Гэты код Python выкарыстоўвае просты рашальнік ODE на падвоеным асцылятарам Duffing, які адлюстроўвае траекторыі прасторы канфігурацыі і карту Пуанкарэ дзіўнага атрактара.