Сейчас об этом помнят только историки математики, но теорем Ферма было много.
Сам Ферма был великим математиком-любителем. Он писал мало, всегда очень коротко, и ничего не публиковал. Уже после его смерти его сын выпустил знаменитую "Арифметику" Диофанта с комментариями отца; а еще сборник разрозненных заметок под одной обложкой. Некоторые открытия остались только в его переписке с другими людьми.
В области теории чисел (а Ферма оставил вклад и в другие ветви математики) Ферма оставил потомкам не стройную теорию, не законченное сочинение, а набор задач в разрозненных источниках. Вот пример еще одной теоремы Ферма:
любое натуральное число -- либо n-угольное, либо сумма не более чем n n-угольных чисел.
Как и великая теорема Ферма, эта представляет собой ряд утверждений при разных n>2: ее нужно доказать для n=3, n=4, n=5, … И об этой теореме Ферма утверждал, что знает её доказательство. И эта теорема тоже неподатлива.
Последующие математики доказывали ее по кусочкам: для n=4 -- Эйлер с Лагранжем, для n=3 -- Гаусс, для произвольного n -- Коши в начале XIX века.
Задачи и теоремы Ферма сдавались одна за другой на протяжении десятилетий, и дали серьезный толчок к развитию теории чисел. В конце концов осталась одна, самая последняя -- как последний этап в длинном маршруте. Конечно, хотелось его завершить и закрыть вопрос. Кроме того, разумно было ожидать, что эта последняя теорема, как и другие до нее, тоже приведет к прогрессу в теории чисел. И не сразу стало ясно, что она окажется принципиально сложнее других.
А формулируется она так:
для каждого натурального n>2 уравнение
не имеет решений в натуральных числах.
И эта теорема не была совсем уж неподдающейся! Ее тоже доказывали по кусочкам. Для n=4 доказательство оставил сам Ферма, через 100 лет для n=3 ее доказал Эйлер. Еще через 50 -- Дирихле и Лежандр для n=5... В XIX веке разным математикам удалось доказать и для других n, но не для всех.
Последняя теорема Ферма долго не выглядела недосягаемой, как далекая звезда на ночном небосклоне. Математикам все время казалось, что осталось еще чуть-чуть, и она будет доказана. Но чем ближе они подбирались, тем недоступнее она становилась.
А в начале XX века немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок (огромная по тем временам сумма) тому, кто её докажет. К тому времени профессиональные математики уже понимали, что легко не будет, и что надежды на быстрый результат нет. Но формулировка теоремы проста и доступна даже школьнику, а назначенная премия очень уж соблазнительна, так что теорема стала популярной у дилетантов. Появилось даже слово "ферматист" -- тот, кто пытается доказать теорему Ферма. После первой мировой войны премия обесценилась, и поток ферматистов практически иссяк.
Так последняя теорема Ферма стала синонимом безнадежного занятия. И когда Эндрю Уайлс в конце XX века задумал ее доказать, он не стал распространяться на эту тему. Но это уже совсем другая история.
Теорема Ферма в каком-то смысле обобщает теорему о существовании пифагоровых троек. У нее есть и другие обобщения, до сих пор не имеющие решения.