Эта задача известна с 1612 года, когда французский математик Баше опубликовал эту задачу в своём сборнике Problem es Plaisants. Сюжет задачи основан на истории, описанной Иосифом Флавием в своём историческом труде «Иудейская война».
Задача
По кругу стоят 41 воин, начиная с первого воина они убивают каждого третьего. Спрашивается, в каком месте нужно встать, чтобы остаться последним выжившим. В более общей формулировке участвует n воинов, которые считаются по кругу, и убивают каждого m-го.
История, вообще говоря, жуткая. Иосиф и его 40 воинов были окружены римлянами, воины сдаваться в плен не хотели, решили погибнуть. Иосиф хотел жить, но остальные сочли его трусом.
Иудейская война, книга 3, глава 8, 7
И в этом положении Иосифа не покинуло его благоразумие: в надежде на милость божью он решил рискнуть своей жизнью и сказал: «Раз решено умереть, так давайте предоставим жребию решить, кто кого должен убивать. Тот, на кого падет жребий, умрет от рук ближайшего за ним, и таким образом мы все по очереди примем смерть один от другого и избегнем необходимости сами убивать себя; будет, конечно, несправедливо, если после того, как другие уже умрут, один раздумает и останется в живых».
Этим предложением он вновь возвратил себе их доверие; уговорив других, он сам также участвовал с ними в жребии. Каждый, на кого пал жребий, по очереди добровольно дал себя заколоть другому, последовавшему за ним товарищу, так как вскоре за тем должен был умереть также и полководец, а смерть вместе с Иосифом казалась им лучше жизни. По счастливой случайности, а может быть, по божественному предопределению, остался последним именно Иосиф еще с одним. А так как он не хотел ни самому быть убитым по жребию, ни запятнать свои руки кровью соотечественника, то он убедил и последнего сдаться римлянам и сохранить себе жизнь.
Как работать на кружке
Сначала в эту игру можно поиграть. А потом попробовать найти решение и способ выжить.
Заполните табличку: строки — сколько людей в кругу, столбцы — каждого какого выбирают. Впишите в клеточки номер, каким надо встать в круг, чтобы остаться последним.
У процесса заполнения явно есть два этапа. Сначала дети рисуют круг из нескольких человек и считают, кто выживет. Иногда не рисуют, а считают друг друга.
Чуть позже кто-то догадывается, что можно пользоваться той частью таблицы, которую мы уже заполнили, это полезно обсудить всем вместе. Было n человек, посчитали и m-го убрали. Новый круг начнется с m+1-го. Теперь у нас n−1 человек и мы по предыдущей строчке таблицы можем сказать, каким надо встать. Посчитаем, начиная с m+1-го и поймем, какой номер выживет.
Разумеется, с детьми эти рассуждения лучше проводить на конкретных примерах. Например, вместе заполнить 5-ю строчку, глядя на заполненную четвертую.
Когда в таблице есть 6-7 строк, в игру полезно поиграть снова, теперь осознанно. Учитель вызывает 6-7 добровольцев и говорит, чему будет равно m. Один школьник выбирает, где ему в круге встать, и откуда круг начнется. Если он выжил — молодец. Школьники получают огромное удовольствие, видя, что табличка теперь помогает им выжить.
Полезные материалы
Готовое занятие кружка — скачивайте и проводите кружок для 5-7 классов
Статья на Хабре — пригодится для более старших школьников или для занятия по программированию
Видео Numberphile — на английском языке, но там вся эта история довольно красиво показана