Не думаю, что эта публикация пойдёт, как самостоятельная статья. Скорее всего, я пишу её для того, чтобы ссылаться на неё из других мест.
Вычитание столбиком всегда было проблемой в начальной школе. Сейчас у меня есть примеры, когда пол класса не может нормально вычесть. Жалуются учителя начальной школы, что родители мало времени уделяют таким важным вещам.
Попробуем разложить по полочкам вычитание.
Я предлагаю метод, как научить вычитать. Объяснить не по принципу "это - туда, а то - сюда", а нормально. Так, чтобы поняли все ученики (проверено)
Алгоритм вычитания столбиком опирается на закономерности позиционных систем счисления (рекомендую статью про болты и гайки), и первый раз я столкнулся с этой проблемой, когда объяснял один из методов быстрого перевода чисел в другие системы счисления через вычитание. Для меня оказалось новостью, что "простой" алгоритм вычитания, который у ученика прекрасно работал в десятичной системе, полностью ломается, когда надо вычесть из 100000-11 в двоичной системе счисления. Видать, не такой уж он и простой.
Понадобятся нам опять болты, гайки и шайбы. (с этого момента начинается объяснение)
Правила размена:
- 10 шайб можно обменять на 1 гайку.
- 10 гаек можно обменять на 1 болт.
- 1 гайку можно разменять на 10 шайб.
- 1 болт можно разменять на 10 гаек.
С таким подходом, шайба стоит "1", гайка стоит "10", а болт "100". Этими знаками я и подпишу разряды.
Это довольно просто, но многие ученики (даже старших классов) говорят, что болт стоит "20". Таким я предлагаю набрать по одной шайбе, чтобы обменять на болт, и терпеливо жду, когда они наберут 20 раз по 1 шайбе, обменивая их попутно всего на 2 гайки, и увидят, что до размена на болт им ещё много остаётся.
Число 573 будет состоять из пяти болтов, семи гаек и трёх шайб.
При вычитании мы из единиц должны вычитать единицы (шайбы), из десятков десятки (гайки) и так далее:
Из всей кучи нам надо убрать ("вычесть") один болт, пять гаек и две шайбы. Трудностей это не вызывает никогда (хотя, чем Чёрт ни шутит), и на листе остаётся 4 болта, 2 гайки и 1 шайба.
А что делать, если надо вычитать больше, чем есть?
Смотрите, болты можно убрать, гайки - тоже, а вот с шайбами неувязочка. Из кучи в три шайбы никак не убрать 8 штук.
Те, кто постарше, сразу говорят, что надо "занимать". При объяснении впервые это слово становится некорректным. Скорее "разменивать". По правилу размена. Одну гайку можно заменить на десять шайб:
Теперь вычитание возможно и опять.
Особую трудность представляет ситуация, когда надо "занимать" из "нуля". Тут тоже можно разменивать, но несколько раз, начиная со старших разрядов:
При объяснении такого размена я рекомендую не ставить безликие точки над разрядом, из которого занимали, а полноценно прописывать каждый шаг размена так, как у меня, в тетради "в крупную клетку". Если уровень абстракции у ребёнка ещё не позволяет обойтись только цифрами, то обязательно использовать предметы- болты, гайки и шайбы.
Такой метод объяснения с одной стороны громоздкий, с другой стороны подводит ребёнка к пониманию принципа построения позиционной системы счисления, и алгоритмов арифметических действий в ней.
Ярче всего такое понимание проявляется при решении сложных задач по информатике, где требуется выполнять действия в системах счисления с основанием, отличным от 10. Ученики, прошедшие такой "нудный" способ вычитания легко вычитают, например, в двоичной системе. Достаточно им сказать, что размен пойдёт не по 10, а по 2. Да и почему вдруг при делении надо число на кусочки распиливать, сообразить становится проще.