Вот уже несколько лет по интернету гуляет картинка с задачей из начальной школы, регулярно вызывающая бурные баталии.
В большинстве из них учителя начальной школы (а также те, кто хорошо помнят этот период жизни) с пеной у клавиатуры доказывают, что оценка поставлена корректно. Люди же, которые более чётко помнят своё обучение математике с пятого класса и далее, уверенно заявляют, что к ребёнку придрались несправедливо. И поскольку в новом учебном году сотни детей и родителей снова столкнутся с этим явлением, давайте разберёмся, что к чему.
Что говорит наука?
С точки зрения серьёзной взрослой математики всё просто. Есть арифметическая операция над действительными числами, которая называется умножением. Эта операция над действительными числами является коммутативной, то есть от перестановки мест множителей произведение не меняется.
Я пишу "умножение действительных чисел", а не просто "умножение", потому что на самом-то деле умножать можно не только числа и не только действительные. И если начать умножать что-нибудь другое, например, матрицы, то там никакой коммутативности уже не будет. Но в рамках школьных уроков математики этого не проходят.
Поэтому с точки зрения науки математики абсолютно всё равно, в каком порядке выполнять умножение. Если то же самое решение напишет любой человек старше 10 лет, его засчитают как полностью верное (ибо оно таковым объективно является).
Тогда зачем мучают детей?
Детей принято учить решать задачи так, чтобы они не тупо выполняли заученные действия, а хоть немного понимали, что к чему. В целом, это правильно. Проблема в том, что ради этого понимания составителям методичек, по которым работают учителя, приходится достаточно странные танцы исполнять со своей интеллектуальной честностью. Открыть детям всю правду почему-то не хотят (считается, видимо, что истина может травмировать хрупкие умы).
Что говорят детям?
Детям говорят в общем-то правильную вещь о том, что числа в задаче - это нечто, имеющее физический смысл. То есть, когда ребёнок решает задачу, он понимает, что "2" - это не просто математическая абстракция, а два литра молока, которые каждый покупатель унёс домой. А "9" - это, соответственно, люди, которые молоко домой унесли. А "18", которое является ответом, - это литры молока, которыми в совокупности владеют теперь все покупатели. Совершенно очевидно, что в рамках данной задачи "18" намного ближе по смыслу к "2". (Я специально сформулировала так, что кажется, будто их смыслы вообще одинаковы: и там, и там литры. Это неверно, но мы вернёмся к этому ниже.) С точки зрения взрослого человека это понятный и своевременный разговор о размерностях величин, очень полезный для дальнейшего понимания физики в целом и жизни в частности.
Но! Как на практике, в письменной работе, проверить, что ребёнок действительно понимает, что "2" и "18" - это литры, а "9" - люди? Как раз за счёт порядка умножения!
Как этот порядок правильно определить? Давайте вспомним, что вообще-то эту задачу можно решить не только умножением, но и сложением, просто это дольше. При этом нам нужно будет к молоку первого покупателя прибавить молоко второго, потом молоко третьего и так далее. То есть записать девять одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 2. Заметим, что при таком способе решения записывать два слагаемых, каждое из которых равно 9, абсолютно бессмысленно, потому что "9" - это люди. И складывая людей с людьми, мы получим людей, а не литры, которые нам нужны. Поэтому, если решать задачу сложением, становится действительно важно, какое число является слагаемым, а какое указывает на количество таких слагаемых.
А дальше с детьми в ультимативном порядке договариваются, что запись "2 умножить на 9" заменяет девять слагаемых, каждое из которых равно 2. А запись "9 умножить на 2"- наоборот. И таким образом, помимо непосредственно правильно выбранного и выполненного арифметического действия, учитель также проверяет адекватно выбранную размерность ответа.
Казалось бы, здорово. Но куда все эти соображения исчезают потом?
На самом деле соображения размерности никуда во взрослой жизни не деваются. Просто они исходно более тонкие, чем рассказывают младшеклассникам.
Вот смотрите. Если мы пишем большой пример "2+2+2+2+2+2+2+2+2", то в рамках этой задачи "2" - это действительно просто литры молока. Эти литры молока в каждом слагаемом мы берём у конкретного покупателя, но для размерности это неважно. И литры же получаются в ответе, как нам и нужно.
Но если мы пишем выражение "2 умножить на 9", то "2" - это не "литры", а "литры на человека"! Вот как скорость - это "метры в секунду", так и здесь. Причём чтобы записать эту размерность нормально, нам потребуется дробная черта, которая, как известно, заменяет деление. С точки зрения размерности в данном примере литры/человек умножаются на 9 человек. "Человеки" сокращаются и остаются литры, которые нам и нужны. Причём сократятся они, естественно, вне зависимости от порядка умножения.
Ещё раз: размерность каждого числа на самом деле зависит не только от условий задачи, но и от того арифметического действия, которое мы применяем, чтобы эту задачу решить. Но эта мысль считается слишком сложной для младшеклассников (особенно учитывая то, что сокращение дробей они пройдут только через два года), и поэтому вводятся вот такие "костыли", от которых без сожалений избавляются в средней и старшей школах.
Как с этим жить?
Знающий правду сам решает, как с ней поступить. Я лично выступаю за то, чтобы не врать детям без необходимости. Я оптимистично считаю, что большинство младшеклассников вполне способно разобраться в этом вопросе и честно смотреть в лицо своим задачам. Думаю, поняв, что к чему, большинство из них согласится подыграть своим учителям. Делают же дети вид, что не знают отрицательных чисел, проживая в стране, в которой по полгода температура за окном ниже нуля.