Дан треугольник ABC, AB = 5, BC = 7, АС = 8. Из вершины B опущены перпендикуляры BM и BN на биссектрисы внешних углов при вершинах A и C. Найти длину отрезка MN. Решение Продлим BM и BN до пересечения с прямой AC. Треугольники BAD и BCE равнобедренные, потому что у них биссектрисы совпали с высотами. Отсюда два вывода: MN = DE/2 = 10, как средняя линия в треугольнике DBE. Заметим, что мы не только нашли длину отрезка MN, но и показали, что она всегда равна полупериметру исходного треугольника. Другие задачи на ту же конструкцию 1. Постройте треугольник по двум углам и периметру. 2. Докажите, что в произвольном треугольнике построенный таким образом отрезок MN будет больше любой из его сторон.
Дан треугольник ABC, AB = 5, BC = 7, АС = 8. Из вершины B опущены перпендикуляры BM и BN на биссектрисы внешних углов при вершинах A и C. Найти длину отрезка MN.
Решение
Продлим BM и BN до пересечения с прямой AC.
Треугольники BAD и BCE равнобедренные, потому что у них биссектрисы совпали с высотами.
Отсюда два вывода:
- AM и CN — еще и медианы, значит M и N — середины BD и BE.
- DE = AB + BC + AC = 20
MN = DE/2 = 10, как средняя линия в треугольнике DBE.
Заметим, что мы не только нашли длину отрезка MN, но и показали, что она всегда равна полупериметру исходного треугольника.
Другие задачи на ту же конструкцию
1. Постройте треугольник по двум углам и периметру.
2. Докажите, что в произвольном треугольнике построенный таким образом отрезок MN будет больше любой из его сторон.