Обмолвилась я в этой статье, что в кольце матриц есть делители нуля. Давайте подробнее.
Начнем с определения матрицы. Представить легко, а объяснить сложно. Матрица это таблица, состоящая из некоторого количества строк и столбцов. Элементами этой таблицы могут быть любые элементы некоего множества. Например, целые или комплексные числа. У любой матрицы есть размер - это количество строк и столбцов, которые содержатся в ней. Все элементы матрицы пронумерованы двойной нумерацией: первое число показывает в какой строке стоит элемент, а второе число указывает на столбец. Если вы ничего не поняли, смотрим на картинку.
Матрицы используются для решения различных математических задач. Самые популярные это решение системы линейных уравнений и линейные преобразования.
Как для любого математического объекта, для матриц введены операции сложения и умножения. Правда с некоторыми поправками. Так складывать можно только матрицы одного размера. Если посмотреть на правило сложения матриц, то становится понятно, почему.
А вот с умножением всё еще интересней. Умножать матрицу размера m x n, можно только на матрицу n x k. То есть количество столбцов первой матрицы должно совпасть с количеством строк второй. Смотрим на правило умножения, чтобы понять почему так.
И да, умножение матриц не коммутативно. То есть, если переставить матрицы местами и перемножить, получится другой результат.
Не очень удобно, зато квадратные матрицы (число строк и столбцов одинаково) образуют кольцо. И здесь мы вплотную подходим к понятию делителей нуля. Но для начала, нужно понять, что является нулем в кольце матриц. Нулевым элементом является элемент, прибавление которого к любому элементу кольца не меняет этот элемент. Если вы вернетесь к правилу сложения матриц и внимательно на него посмотрите, то без труда определите, какая матрица будет нулем. А если нет, то сейчас будет ответ.
Еще пару секунд на раздумье...
Вы уже знаете ответ?
Это матрица все элементы, которой являются нулями. Обычными нулями из того же множества, из которого взяты все элементы матрицы. Если это множество вещественных чисел, то ноль это просто 0.
И наконец-то, мы дошли до интересного. Делители нуля. Напомню, что это ненулевые элементы из множества, при умножении которых получается ноль. Попробуете сами подобрать такие ненулевые матрицы, чтобы их произведение было равно нулю? Если ничего в голову не пришло, то в конце есть пример.
А вот и обещанный пример.