Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) описана окружность. Касательная к ней в точке В пересекает луч АС в точке D.
Е — середина стороны АВ, Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АВ. Найдите длину ЕН, если AD = a.
Я напишу два способа решить эту задачу. Если первый выглядит для вас сложно — второй попроще.
Оба способа основаны на том, что ответ мы пытаемся угадать, и это нам подскажет, как додуматься до решения.
Судя по вопросу EH как-то просто выражается через AD, похоже, что равно половине. Значит надо либо на AD середину рассмотреть, либо AH продлить до длины AD.
Первый способ
Отметим середину отрезка AD — точку K. Тогда HK — медиана прямоугольного треугольника AHD, проведенная к гипотенузе, значит, HK = AK = KD = a/2. Кроме того, KE — средняя линия треугольника ADB, то есть KE || DB.
Желтые углы равны — один из них угол между касательной и хордой, а два других при основании равнобедренного треугольника. Пусть они равны х.
Тогда красные углы тоже равны между собой и равны 90°−x/2:
- Углы ABC и ACB находим из равнобедренности исходного треугольника.
- Угол HBD — аккуратным подсчетом углов при вершине B.
- Угол HEK равен углу HBD из параллельности EK и BD.
- Вычисляем угол EKH из треугольника EKH.
О чудо, треугольник EKH — равнобедренный, значит EH=HK=a/2.
Второй способ
Продлим BH на ее длину.
Желтые углы равны. Считаем красные углы и обнаруживаем, что они тоже равны. Дальше ответ очевиден.