6 сентября я рассказывала о 10 нереально сложных задачах, которые могут поставить в тупик каждого, и еще не знала, что в одной из них, оказывается, есть продвижение. Как раз 5 сентября Александр Эскин (американский математик с русскими корнями) получил премию за прорыв в науке (breakthrough prize). Прорывом была теорема о волшебной палочке, которую он доказал вместе с Мариам Мирзахани. Это известная иранская женщина-математик; в 2014 году она получила филдсовскую медаль, но не дожила до премии за прорыв -- вскоре умерла от болезни, когда ей было всего 40 лет.
Теорема о волшебной палочке – это результат о динамических системах. В какому-то смысле, динамической системой может быть все, что изменяется во времени. Если задано некоторое начальное состояние и правило перехода из одного состояния в следующее по времени – мы имеем динамическую систему. Движение планет, молекул в газе, электронов в проводнике -- все это примеры динамических систем. Бильярд – излюбленная игрушечная динамическая система у математиков; но бильярд у них не обязан быть прямоугольным. Тренируясь на кошках бильярдах, математики разрабатывают инструменты изучения настоящих динамических систем.
В работе с бильярдами теорема Эскина и Мирзахани служит настоящей волшебной палочкой. Можно коснуться любого данного бильярда из определенного класса бильярдов и получить для него специальную фигуру. Её геометрия расскажет всё о начальном бильярде.
Из этой теоремы и следует продвижение в задаче освещения области. Задача об освещении -- это та же задача о бильярдах, ведь луч света и бильярдный шар подчиняются одному и тому же закону: угол падения равен углу отражения. Просто в терминах освещения формулировку легче всего понять:
Всегда ли можно комнату с зеркальными стенами осветить одним точечным источником света?
В 1958 году Р. Пенроуз спроектировал плоскую комнату, часть которой всегда будет неосвещена, независимо от того, где в этой комнате находится свеча.
Но для многоугольной комнаты решение пока не найдено. Теорема о волшебной палочке дает лишь часть ответа -- для тех многоугольников, углы которых соизмеримы с развернутым. Такие углы выражаются рациональным числом градусов -- 54 или 135/8, например; а √197 уже не подходит. В таких многоугольниках не будет неосвещенных областей, где бы ни располагать источник света (хотя возможно конечное число неосвещенных точек).
Подробнее о теореме о волшебной палочке можно прочитать в статье Антона Зорича. Он ожидает от нее глубоких следствий:
Мы еще не знаем, какие могут быть приложения у теоремы о волшебной палочке. Интегральное исчисление было частично разработано Кеплером (за столетие до Ньютона и Лейбница) для измерения объема бочек с вином. Тогда и подумать никто не мог, что в любом учебнике по математике будет обсуждаться объем тел вращения, и что интегральное исчисление станет неотъемлемой частью всей современной инженерии. Теорема, доказанная Алексом Эскиным и Марьям Мирзахани, настолько красива и мощна, что лично я не сомневаюсь, что она найдет множество применений, выходящих далеко за пределы нашего нынешнего воображения.