Вся математика построена на доказательствах. С тупой зубрёжкой в этом предмете делать нечего.
Однако почему-то в отношении свойств логарифмов такая практика крайне популярна. Да, свойства обязательно нужно знать, чтобы решать задачи на логарифмы, от самых простых до сложных и громоздких. Но разумно ли зубрить кучу свойств, когда их в любой момент можно вывести, зная один-единственный маленький секрет?
Да и, к тому же, не так уж редки случаи, когда ученики в этих свойствах путались или забывали их в самый ответственный момент — от стресса на экзамене, от излишней надежды на шпоры, спрятанных в самые интересные места, и т. д.
Что ж, настало время раз и навсегда застраховать себя от таких неприятных ситуаций!
Одно за всех и все за одно
Посмотрите, пожалуйста, внимательно на это изображение:
Перед вами — ключ к дверям всех остальных логарифмических свойств. Что это?
Да не что иное, как определение логарифма!
Логарифм — это степень n, в которую возводится число a, чтобы получилось число b.
Вот и всё, что вам нужно знать, чтобы вывести остальные свойства. Не верите?
Докажем некоторые из свойств, используя эти определения.
На здравый смысл
Тут и комментировать нечего — ну какое число даст что-то, кроме самого себя, при возведении в единицу? А какое не даст единицу при возведении в нуль?
На здравый смысл и подстановку
А вот сейчас будет чуть-чуть поинтереснее. Самую малость.
По сути, мы просто подставляем взаимозаменяемые значения. Что нам это даёт?
Например, с помощью подстановки мы получаем свойство вынесения показателя степени из аргумента логарифма (1).
А с помощью этого свойства получаем уже формулу перехода к новому основанию (2).
И, конечно же, самая элементарная, но и самая яркая демонстрация силы подстановки — мы получаем основное логарифмическое тождество (3).
На здравый смысл, подстановку и свойства степени
Из основных свойств у нас остались только формулы суммы/разности логарифмов. Тут нам важно вспомнить, что:
При умножении одинаковых оснований их показатели складываются.
Ну и, аналогично:
При делении одинаковых оснований их показатели вычитаются.
Зачем нам степени, когда мы в логарифмах?
А вы попробуйте вывести сумму/разность, не зная или не помня эти два факта!
Вот и всё. Формулы, которые не были разобраны в этой статье, выводятся абсолютно аналогичными методами и всегда — через определение.
Конечно, кто-то может сказать, что легче выучить маленькую табличку и что на экзамене вывод этих формул займёт много времени, а ведь 235 минут протекают так незаметно, когда стараешься сделать все задания...
Может и так.
Но, как мне кажется, лучше потерять пару минут, чем пару баллов.
Не забудьте подписаться на канал, чтобы ничего не пропустить — впереди у нас неделя уравнений!