Все математические определения или утверждения можно разделить на две части: условие и заключение. То есть их можно сформулировать в виде "если ..., то ...". Например:
И так далее и тому подобное. Соответственно, если мы хотим выяснить является ли некое число четным, мы проверяем делится ли оно на два. Выполняется условие, значит выполняется и заключение. Всё просто, понятно, легко.
Конец!
А как же тонкости? Условие, что число делится на 2, оно какое достаточное или необходимое? Или и то и другое?
Чтобы выяснить этот факт, давайте разберемся с тем какие условия являются достаточными, а какие необходимыми.
Условие является достаточным, если при его выполнении выполняется также и заключение. Например:
Во всех этих примерах, при выполнении условия выполняется и заключение. Возражения?
Достаточным является любое условие, которое влечет за собой выполнение заключение. Закрепили это в памяти и движемся дальше.
Условия необходимые, похожи не песню: "если б не было тебя, то не было бы и меня". Если условие не выполняется, то не выполняется и заключение. В примерах выше, необходимым условием является второе. Если отрезки не равны, то их длины также не равны. В первом примере, мы вспоминаем, что люди ходят на работу не только в понедельник, а в третьем случае, что число можно увеличить и делением, например.
И, наконец, условия необходимые и достаточные. Как понятно из союза "и", это условия, которые нужны для того, чтобы выполнялось заключение и, без которых это заключение не будет выполнено.
Обычно необходимые и достаточные условия формируются в определениях. Возвращаясь к нашим примерам, условие равенства двух отрезков является необходимым и достаточным для того, чтобы длины этих отрезков были равны. Обычно для формулирования утверждений с необходимым и достаточным условием используется конструкция: "тогда и только тогда". То есть: "Длины отрезков равны, тогда и только тогда, когда равны сами отрезки". Парам-пам-пам.
Практическая часть: определить для первых трёх высказываний, какие там условия. Ответы пишите в комментариях.