Когда-то я перевела книгу Смаллиана «Логические лабиринты» (если кто не знал – это именно он придумал задачи про рыцарей и лжецов, а еще написал такие популярные книги как «Принцесса или тигр?» и «Как же называется эта книга?»). Перевод так и не издали, но я не об этом. Рассказывая об индукции в геометрии, Смаллиан вспоминает, как он вводит на уроках для школьников теорему Пифагора.
Он рисует прямоугольный треугольник с квадратами, построенными на катетах и гипотенузе, объявляет, что все три квадрата сделаны из золота, и что разрешается выбрать один большой или два маленьких. А потом устраивает в классе голосование, кто что выберет. Смаллиан говорит, что обычно голоса разделяются примерно поровну.
Меня в этой истории удивляет то, что находятся школьники, которые не слыхали о теореме Пифагора до того, как встречают её в школе. Все же она слишком знаменита для этого. А почему? Что в ней такого особенного, что выделяет ее из других школьных теорем?
Она сильно неочевидная. В многих других теоремах мы просто глазами видим результат. Пусть даже с первого взгляда мы не знаем, как доказывать, но большинство теорем из начал школьной планиметрии кажутся очевидными.
(Само по себе это ужасно. Дети начинают изучать геометрию с того, что им приходится доказывать очевидные вещи. Многим кажется, что эти доказательства – бессмысленные заклинания.) А вот с теоремой Пифагора не так. Ее нельзя узреть наблюдением, и как ее обнаруживали первооткрыватели – непонятно. Возможно, сначала заметили некоторые пифагоровы тройки, а потом уж обобщили на произвольные прямоугольные треугольники.
Зато доказательств много самых простых. Можно вооружиться ножницами и бумагой и быстренько ее доказать.
Есть много других доказательств, и для теоремы Пифагора их придумали, наверное, больше всего.
Теорема Пифагора – связующее звено между алгеброй и геометрией. Возьмем плоскость координат, где каждая точка задается парой чисел. Именно теорема Пифагора позволяет нам выражать расстояние между точками через их координаты и записывать уравнения линий в координатах.
Теорема Пифагора – дверь в тригонометрию. Разделим a²+b²=c²
– а это и есть основное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус угла.
Теорема Пифагора допускает разнообразные обобщения:
Но интереснее всего было бы обобщить ее на трехмерное пространство. Только вот не сразу понятно, что считать трехмерным прямоугольным треугольником.
Поэтому возьмем кирпич и отрежем от него тетраэдр, вот так:
Можно назвать его тетраэдром Пифагора, потому что три боковые грани у него – прямоугольные треугольники, и все три прямых угла сходятся у одной вершины (О). Обозначим площадь основания S, а площади боковых граней –
Рассказ о Пифагоровых тройках читаем на канале «Поучи учителя»
А какие вам известны интересные факты о теореме Пифагора?