Малышам в школе говорят, что 5 на 3 не делится, из 3 отнять 5 нельзя, и на ноль делить тоже нельзя. Но эти "нельзя" разные.
Легко понять, почему нельзя разделить 5 на 3. Вот как на трех братьев разделить 5 мячей? Если каждому дать по одному, то останутся лишние, а если по 2, то уже не хватит. Еще легче с 3-5. Пусть-ка тот, у которого 3 мяча, отдаст другому 5. Ясно, что нельзя.
С делением на 0 хитрее. Почему это нельзя разделить 5 мячей на 0 братьев? Некоторым кажется, что легко: никому ничего не давать. Ведь не все, кто умеет делить в столбик, знают, что такое "разделить" в математике.
И кстати, с первыми двумя "нельзя" все-таки математика справилась в духе "если нельзя, но очень хочется, то можно". Для этого пришлось от натуральных чисел перейти к рациональным. И здесь уже всё можно:
5:3=5/3, 3-5=-2.
Отчего бы не поступить так с делением на 0? Взять да и подкрутить числовое множество так, чтобы ноль не был таким исключительным, чтобы на него тоже было можно делить?
Оказывается, это уже сделали. Только надо помнить, что придется не только расширить понятие числа, но еще и разобраться с законами операций.
Чего ожидать? Некоторые примеры
В математике постепенно создавались разные числовые множества, обычно путем расширения.
Вот, например, натуральные числа (N). У каждого есть следующее по порядку: за 1 идет 2, за 2 идет 3 и так далее. Операция деления не всегда определена, скажем, 5 на 3 не делится. Если мы сильно захотим делимости всего на всё (кроме 0), то нам придется добавить к натуральным числам дроби. Так построили рациональные числа (Q), теперь 5 делится на 3 (получается 5/3). И все законы -- сочетательный, переместительный, распределительный -- сохранились. Но по дороге потерялась индукция, теперь у чисел нет следующих. (Какое рациональное число следует за 5/3? Нельзя сказать.) Все рассуждения по индукции уже не работают.
Еще пример: у нас есть действительные числа (R), а мы хотим извлекать из них квадратные корни. Да, и из отрицательных чисел тоже. Для этого вводят комплексные числа (C). Теперь корни есть всякие разные, и даже сохранились свойства операций, но по дроге мы потеряли сравнение «больше-меньше». Комплексные числа нельзя сравнивать, какое больше, какое меньше. Это отношение теперь не имеет смысла.
Можно взять да и ввести деление на 0, но по дороге обязательно кое-что потеряется.
Разрешим делить на 0
В привычных числовых множествах деление вводится как операция, обратная умножению. Что значит разделить 8 на 4? Это значит, подобрать такое число x, что 4⋅x=8. (Удалось подобрать?) Разделить 8 на 0 – значит, подобрать такое число x, что 0⋅x=8. А такого подобрать нельзя.
Поэтому, когда строят "числа" с делением на 0, вводят операцию «взять обратное число». Для ненулевых чисел это обратное число в обычном смысле: у 2 обратное ½, у 3 – 1/3, у 5/3 -- 3/5, и так далее. Число, обратное 0, -- новое, доселе невиданное, для него придумали специальное обозначение: ∞. (Ну все и так догадывались, правда же?)
Вопрос: куда поместить его на числовой прямой? Посмотрим на ряд чисел, постепенно приближающихся к 0:
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ….. --> 0.
Как расположены обратные к ним?
1, 2, 3, 4, 5 … --> ∞.
Хорошо бы поэтому поместить элемент ∞ "правее" всех остальных чисел на числовой прямой. Но если ряд приближается к 0 с отрицательной стороны (-1, -1/2, -1/3,....), тот же принцип велит поместить ∞ левее всех остальных чисел.
Приходится числовую прямую замкнуть в окружность, концы склеить, а в месте склейки поместить элемент ∞. Это хорошо известный в математике объект, в проективной геометрии так научились делать очень давно.
Всё?
Если бы все дело было только в одной бесконечно удаленной точке! Под делением теперь подразумевают умножение на обратное. Вместо того чтобы 3 делить на 2, умножают 3 на ½. Получается такой же ответ, к которому мы привыкли – 3/2. Умножение на обратное для ненулевых чисел дает такой же результат, что и обычное деление; так что в каком-то смысле обобщить деление удалось.
Но совсем непонятно, сколько будет 0 разделить на 0, то есть 0 умножить на ∞. Результат получится ни на что не похожий. Мы не можем сказать, что это 0 или 1 или 2 или 5,65 или даже ∞, ведь такие варианты будут противоречить обычным законам. Поэтому придется сказать, что это совсем новый элемент и ввести для него обозначение ⊥. Места для него на склеенной прямой нет, ни один другой не приближается к нему сколь угодно близко. Множество элементов (не хочется их все-таки называть числами) выглядит не как числовая прямая, а вот так:
Неудивительно поэтому, что такую конструкцию называют колесом.
В колесе есть деление на 0, которое понимается как умножение на число, обратное нулю. Но кое-что мы в таком построении потеряли. Теперь у нас не обязаны выполняться привычные соотношения типа 0⋅x=0. Все отклонения касаются именно элементов 0, ∞ и ⊥. Для всех, кроме этих трех, чисел законы умножения, сложения и обратного числа такие же, как для действительных чисел. А для этой троицы приходится тщательно прописывать отдельные правила.
В колесе появилось "число" ⊥, которое ведет себя куда хуже ∞: держится особняком и нарушает связность числового множества.