Задачи на переливания

Вы стоите около реки и у вас есть только две пустые канистры: объемом 5 и 3 литра. Как получить 4 литра воды?

Иллюстрация: Полина Хамитова

Решение

5л 3л
0 3 наполним трехлитровую канистру
3 0 перельем в пятилитровую
3 3 снова наполним трехлитровую
5 1 перельем в пятилитровую, сколько сможем
0 1 опустошим пятилитровую
1 0 перельем один литр
1 3 отмеряем еще 3 литра
4 0 ура!
Есть более короткое решение (найдите и напишите в комментарии).

Школьникам тут важно показать форму записи таких задач. Табличка, сколько где литров на каждом шаге — полностью иллюстрирует весь процесс переливаний.

Новая задача

Та же задача, но канистры 15 и 9 литров, а получить нужно снова 4 литра.

— Не получается!
— Не знаю, возможно пока не удалось, попробуй еще.
— 15 и 9 оба нечетные, а 4 четное.
— 5 и 3 тоже были оба нечетные, а 4 получилось.

— Расскажи, сколько литров вообще удается получить? Понятно, что 6 легко. А что еще удавалось?
— 3, 6, 12... Всё, что кратно трем?
— Давайте закончим решение задачи.

Решение

Давайте разберемся, какие операции мы совершаем.

Если мы переливаем из одной канистры в другую, мы складываем. А если мы доливаем столько, сколько вместится, то мы из одной убираем разницу между ними. 15 − 9 = 6, разница кратна трем.

Получается, кто все наши операции приводят к тому, что количество литров кратно трем.

Значит 4 литра мы не получим никогда. Это доказательство невозможности.

Обобщим: если у объемов канистр есть общий делитель, отличный от 1, то мы можем получить только объемы кратные этому делителю.

Источник

Д.Э.Шноль «Олимпиадные задачи на уроке в 5-6 классе», видеозапись семинара для учителей проекта «Математическая вертикаль»

Пусть будет еще задачка

Жители города Глупова пользуются купюрами только в 35 и 84 глуприков. Сможет ли рассчитаться продавец с покупателем, который хочет купить
a) шоколадку за 49 глуприков;
б) булочку за 50 глуприков?

Решения — в комментарии.