Степени — одна из самых простых вещей в курсе математики в плане понимания. Даже школьнику со слабой подготовкой легко понять, что 2³ — это то же самое, что 2×2×2 (и результат вычислений, соответственно, тот же). А ученик с более сильной подготовкой наверняка знает, что 2 — это основание степени, а сама степень, 3 — это показатель.
Степени здорово упрощают нам жизнь не только в КИМах ЕГЭ по математике. Например, физики очень не любят писать 189000000 (метров) - громоздко, длинно, да и вообще, выглядит как-то жутко. Гораздо приятнее глазу аналогичная запись 189*10^6, согласитесь.
Для того, чтобы решать примеры со степенями, как правило, достаточно понимать, что такое степени, и знать их основные свойства - табличку с ними вы можете найти в хранилище изображений любого поисковика. И набить руку на примерах, в которых эти свойства применяются, конечно.
Ну а мы рассмотрим только самые интересные моменты, чтобы не завалиться на такой лёгкой теме даже в самых "тяжёлых" случаях.
Основные ошибки при работе со степенями
Всякие там сложения-вычитания
Складывать и вычитать одночлены, которые отличаются друг от друга чем-то, кроме числового коэффициента — тяжелейший математический грех. Не надо так.
Основания и показатели
Разные основания и степени у двух множителей не всегда плохи, но очень часто у учеников в голове возникает путаница, которая приводит к неправильному ответу.
Мы можем умножать/делить разные числовые основания с одинаковым показателем, при этом не меняя степень — это связано со свойством (ab)^n = a^n*b^n, которое действует и в обратную сторону.
Мы можем умножать/делить числовые основания с разным показателем, но результат мы можем узнать ТОЛЬКО предварительно возведя эти числа в степень и проведя арифметические вычисления. Никаких волшебных свойств степени тут искать не надо.
С буквами всё строже — при разных основаниях с одинаковым показателем действуем аналогично числам, а вот если разное всё, то с буквенными выражениями тот же номер не пройдёт — их нельзя возвести дальше, чем они возведены.
Будьте внимательны и путайтесь, пожалуйста.
Немного необычная задача на степени (для разминки)
В основной массе задачи на преобразование примеров со степенями просты до безобразия, нужно только уметь считать и не путаться в свойствах. Именно поэтому наш пример нестандартен, а не из-за своей невероятной сложности. Он демонстрирует почти все основные применения свойств степени, и это очень удобно, так как чистую теорию без практики показывать смысла нет, а по пять простеньких примеров писать долго, скучно и никому не интересно.
Если вы уже решили этот пример сами, то можете взглянуть на моё решение:
И если вы что-то не поняли - ничего страшного, сейчас я опишу ход решения.
1. Раскладываем √30^n+5 по свойству (ab)^n = a^n*b^n;
2. Применяем формулу для деления степеней с одинаковыми показателями (в нашем случае — √6^n+5, пятёрку пока оставляем в сторонке, как множитель).
3. Получаем (√6)^8, корень убираем при помощи формулы перехода от корня к степени (степень радикала - 2, степень шестёрки — 8, 8:2 = 4). Думаем, как разобраться с пятёркой.
4. Возвращаемся к нашему "если..." Нас озаряет невероятная идея: "О Боже, это же почти то, что у нас есть, та же пятёрка, мы можем заменить её на 36, так как там стоит знак равенства!".
Можно было снова применить формулу перехода от корня к степени, а можно просто подставить 36, а уже потом извлечь корень.
5. Продемонстрировать своё умение работать с большими чиселками и порадоваться за то, какие мы умные.
Самым сложным здесь был, пожалуй, пятый пункт, если у вас уже выработалась калькуляторная зависимость, но никак не свойства степени.
Кошмар любого ученика из средней школы
Бывают ситуации разные. Есть лёгкие степени, ненапряжные свойства.
А есть ситуации страшные.
Например, когда ученик решает длинное-длинное уравнение, где-то ошибается и приходит вот к такой страшилке:
2^x = 9
И тут же начинается жар, давление, тахикардия, паника... А старший товарищ сразу бы сказал ему, что, вообще-то, он балда, и такие уравнения решать можно. Но он об этом узнает несколько позже.
И вы об этом узнаете - ведь в следующий раз мы будем говорить об логарифмах!
Подпишитесь, чтобы ничего не пропустить.