В прошлый раз мы говорили о свойствах "чистого" корня, без всяких излишеств в виде уравнений высших степеней или формул сокращённого умножения.
Однако, как вы уже поняли, это слишком просто, а потому скучно. Так же рассуждают создатели ЕГЭ, и поэтому, как правило, примеры с корнями включают в себя что-то ещё.
Именно поэтому сегодня мы разберём подборку одних из самых "сложных" заданий по этой теме - в рамках ЕГЭ, разумеется.
Совсем ЕГЭ
В поисках хороших примеров я отправилась на сайт Гущина, и вот, что мне удалось там найти:
Стоит сказать, что я решила поставить фильтр "сначала сложные", а этот пример стоял вторым в списке задач.
А теперь посмотрим, как решается эта "вторая по сложности" задача:
Прелесть, не правда ли? Какая сложная задача!.. Которая решается в две строчки.
Прокомментирую ход решения:
1) Применили формулу квадрата суммы;
2) Вынесли общий множитель 2 за скобки;
3) Сократили и получили ответ.
Поэтому я так настаиваю на том, чтобы первым делом вы прочитали статью про разложение многочленов на множители, ведь первые два пункта нашего решения именно отсюда. И так будет не один раз! Без знания этих способов - как без доспехов и меча посреди поля боя.
Не совсем ЕГЭ
Как вы понимаете, на "Решу ЕГЭ" ничего интересного больше не нашлось. Все примеры либо на "чистые" свойства корня, либо на несложное применение формул сокращённого умножения.
Поэтому мне пришлось открывать пособие Д. А. Мальцева, о котором я уже упоминала в одной из своих статей.
При чём тут модуль?
Сразу видно — тут опять замешаны ФСУ. Однако, в отличие от предыдущего примера, тут не всё так просто — дело в одном из свойств корня, о котором часто забывают.
Посмотрим, как решается этот пример — опять же, не сказать, что так уж много места это заняло (а почерк у меня далеко не бисерный):
Так, ну, понятно, по ФСУ квадраты суммы/разности свернули, а потом... потом откуда-то выполз модуль.
В чём дело?
Помните прошлую статью про свойства? Там была замечательная табличка, а в ней было замечательное свойство, на котором мы задерживаться не стали:
Именно по этому свойству мы и избавились от корня под нашими квадратами (да и от квадратов тоже). Сейчас вы поймёте, зачем всё это нужно.
В прошлый раз мы говорили, мол, без разницы, что возводить в квадрат (или любую другую чётную степень) — отрицательные числа или положительные:
2² = 4 (2*2 = 4)
(-2)² = 4 ((-2)*(-2) = 4)
То есть, по сути, при извлечении корня у нас есть два варианта числа — положительное и отрицательное. Но верный только один — положительный. Потому что значение корня не может быть отрицательным.
Давайте проверим, получится ли у нас отрицательные значения в наших квадратах. Для начала мы сделаем оценку числа √7. Какие у нас известные "соседние" корни, которые мы можем извлечь?
Очевидно, что это √4 и √9, которые при извлечении дают числа 2 и 3 соответственно. А значит:
2 < √7 < 3 (или √4 < √7 < √9)
Теперь мы, зная приблизительное значение √7, можем спокойно проверить, являются ли значения наших квадратов отрицательными:
х - 2 > 0 (потому что √7 меньше 3, но больше 2)
х - 4 < 0 (потому что √7 меньше не только 4, но даже 3)
Последний квадрат плохой, сделаем из него хорошего парня, раскрыв модуль этого выражения с противоположными знаками:
|х - 2| + |х - 4| = х - 2 + (-(х - 4)) = х - 2 - х + 4 = 2
Вот так мы получили уже вторую двойку за сегодня. Но такую приятную!
Делаем ФСУ из ниоткуда (метод выделения полного квадрата)
Ещё один пример из того же пособия:
На первый взгляд, не очень понятно, как к нему подступиться — сложить корни нельзя, так как подкоренные выражения разные, применить ФСУ, как в предыдущем примере, тоже невозможно, так как их тут просто нет... Так ведь?
Конечно, нет — для тех, кто хочет сдать ЕГЭ на сотку, нет ничего невозможного.
Да, всё просто до безобразия — мы вспомнили первый класс и представили 6, как 4 + 2. Этот способ ещё называют "методом выделения полного квадрата", но я называю это проще — "арифметика и мозги".
Ну а дальше по известной нам схеме — свёртывание по ФСУ, оценка, раскрытие модуля и результат "на четвёрочку".
Итак, не поверите, но это были самые сложные смешанные примеры на преобразование корней в рамках ЕГЭ, которые мне удалось найти. Все остальные — либо аналогичны, либо уж совсем простые, представляющие собой задачки на проверку свойств "чистых" корней. Если вам удалось найти ещё что-то интересное — пишите в комментариях, обязательно разберём и их!
Но но этом эпопея с корнями не заканчивается. Впереди — иррациональные уравнения, но прежде, чем к ним приступить, мы должны разобраться с их братьями по клану — степенями.
Обязательно подпишитесь, чтобы не пропустить их!