Так уж исторически сложилось в школе, что иррациональные выражения не вызывают особого восторга в сравнении со своими рациональными товарищами. А зря.
Ведь если говорить об упрощении корней, то они бывают несравнимо приятнее, а практически любые трудные примеры связаны, как правило, не с самими корнями, а теми же самыми некрасивыми рациональными многочленами. Поэтому обязательно почитайте про разложение многочленов, прежде чем читать эту статью.
Ну а если вы всё освоили, то сегодня мы поговорим о корнях. И начнём с того, что же это вообще за зверь такой - корень.
Важна лишь степень...
Если вы уже знакомы с понятием степени, то знаете, что при возведении числа или буквенной переменной в n-ую степень, число или переменная умножается само на себя n-ое количество раз.
Возведём переменную а в степень 2: a² = a*a
Возведём число 2 в степень 2: 2² = 2*2 = 4
Возведём переменную b в степень 8: b^8 = b*b*b*b*b*b*b*b
Назовём это "прямым путём" или "прямой операцией". А можно ли сделать "обратную операцию", то есть посмотреть, каким было число до возведения в степень?
4 = 2*2 = 2² = 2
Конечно, можно! Именно для этого математиками было введено понятие корня.
Корень n-ой степени из числа а - это некоторое число x, которое даёт a при возведении x в степень n.
Перевожу на человеческий язык наглядных примеров:
Корень 3-ей степени из числа 8 - это число 2, которое даёт восемь при возведении 2 в степень 3.
Действительно, 2³ = 8. А ∛8 = 2. Вот такая вот машина времени!
Самый популярный корень - квадратный. Настолько популярный, что за его "хвостиком" даже не пишут двойку - просто √.
Очень часто можно встретить такое определение квадратного корня:
Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа а называется арифметическим квадратным корнем.
(спасибо, "Википедия")
Почему число неотрицательное? А вспомните про то, как получается наше подкоренное число а - мы возводим х в определённую степень. Раз у нас корень квадратный, значит, степень здесь вторая.
А разве может при возведении в квадрат получиться отрицательное число?!
2² = 4
(-2)² = 4 (или (-2)*(-2) = 4)
Хоть ты лопни, хоть ты тресни, а -4 никак не получишь возведением в квадрат. Как и любое другое отрицательное число.
Именно поэтому ОДЗ у квадратного (да и любого другого чётного) корня - ноль и все положительные значения. Не забывайте об этом!
Кстати, к корням нечётной степени это не относится:
-2³ = -8 (или (-2)*(-2)*(-2) = -8)
И ещё раз о степени (и немного о свойствах)
Посмотрите внимательно на эту табличку (а лучше ещё и сохраните её где-нибудь и выучите).
Во-первых, там (как и на многих других подобных табличках) нет ни одного упоминания операций сложения и вычитания между корнями.
А между тем, они возможны, но на них действуют серьёзные ограничения - одинаковая степень корней и одинаковое подкоренное выражение.
6√b + 7√b = 13√b
7√a - 6√b... Нельзя!
√a + ∛а... Тоже нельзя!
А чтобы понять, почему же так делать не стоит, если вы не хотите, чтобы вам влепили жирную и заслуженную двойку - посмотрите в правый нижний угол таблички, на формулу, связывающую корень и степень.
Сразу пример:
∛8 = ∛2³ = 2^3/3 = 2.
Через это свойство можно вывести многие другие, поэтому советую вспоминать всегда в первую очередь про него, когда вы имеете дело с корнями.
Например, вернёмся к нашим суммам-разностям.
√a + ∛а - по свойству, это то же самое, что а^½ + a^⅓. Но если вы читали статью о разложении многочленов, то вы помните, что нельзя складывать одночлены, которые отличаются друг от друга чем-то, кроме числовых коэффициентов! В том числе и степенями.
А ещё этот запрет относился к сумме или разности одночленов. Так, даже если у вас будет одинаковая степень корня, но разные подкоренные выражения - всё равно получится, что вы страшный преступник и нарушаете законы государства одночленов. Они же всё ещё отличаются друг от друга!
√a + √m = a½ + m½
Вот как всё переплетено в мире математики - одночлены, степени, корни...
Как видите, не так страшен корень, как его малюют нерадивые ученики. Хотя, может, не всё так просто, и нам есть, чего бояться?
Как уже было сказано в начале статьи, в качестве оружия массового поражения очень часто применяются так называемые смешанные уравнения и выражения. В них тоже нет ничего страшного, кроме того, что, если вы не знаете какую-то из тем, которая была использована для составления примера, вы его, с большой долей вероятности, просто не решите.
Но, поверьте, в следующей статье мы научимся щёлкать их все, как орешки! Подпишитесь, чтобы не упустить момент победы.