Конечно, хочется побыстрее начать решать уравнения, неравенства, параметры, сложную геометрию и загадочную 19-ую задачу...
Но, пожалуй, стоит сделать остановочку, потому что без этой темы вы не уедете дальше второго задания.
Искусство преобразовывать выражения многогранно, интересно, познавательно и начинается, как правило, классе в пятом — с того момента, как вводятся понятия "одночлен" и "многочлен".
Что такое "одночлен"?
Упрощённо — это произведение. Произведение чего угодно — чисел, переменных в любой положительной степени (если вы умница — напишите в комментариях, почему именно в положительной, если не знаете — опять же, спрашивайте в комментариях, чтобы стать умницей).
Ну, например, 2x, 567x² — это одночлены.
И просто числа, и буквенные переменные (например, 7) — тоже одночлены, потому что это такое же произведение. Произведение числа или переменной с единицей.
С одночленами связано такое важное понятие, как коэффициент одночлена. Так, у этих одночленов:
следующие коэффициенты: ⅛, 45, -2.
Операции сложения и вычитания возможны только для одночленов, которые если и отличаются друг от друга, то только числовым коэффициентом (буквы одинаковые! и степень их тоже! буквы святое, не трогайте их!). Подобные операции называют приведением подобных слагаемых.
Если мы не можем найти подобные слагаемые, но при этом долго и упорно пытаемся сложить их между собой или вычесть друг из друга, мы невольно превращаем безобидный и маленький одночлен в нечто длинное, неудобное и страшное.
В многочлен.
567x²+2х-7, например.
Иногда вообще попадается сразу несколько таких многочленов, а то и похуже. Как же быть — громоздко и неудобно же?!
И вот тут-то нам приходят на помощь методы разложения многочленов на множители.
Множители — что-то знакомое, не правда ли? Можно сказать, родом из далёкого детства.
Помните математические компоненты? Ну там, делимое-делитель-частное, множитель-множитель-произведение? Вот это оно и есть, во всей красе.
Допустим, есть одночлен 6х²k (или 3*2*х*х*k). 3,2, x и k здесь — наши множители. Или, скажем, 3*2*х — тоже множитель.
Способ первый: вынесение за скобки
Самый, наверное, всенародно любимый способ раскладывать многочлены на множители. Просто, легко, понятно, думать почти не надо.
Чтобы способ работал, нам нужно, собственно, наличие этих самых общих множителей:
16x³-4x² = 4x²(4x-1);
12k+3px²+3 = 3(4k+px²+1);
17-12x⁴ ≠ а вот тут этот номер не пройдёт, потому что общих множителей здесь нет.
Если они есть — выносим их за скобку, а в скобках оставляем то, что не выносится.
Способ второй: ФСУ
Эти буквы вы должны знать, как Отче наш.
И я говорю не об аббревиатуре формул сокращённого умножения, я о самих формулах.
Это — ваша главная предэкзаменационная молитва, и вы должны быть готовы, что вас разбудят в три часа ночи, а вы без запинки, строча, как пулемётчица Анка в сторону врагов народа, назовёте их.
Все.
До единой:
Хочу обратить внимание на то, что формулы "сумма квадратов" нет в данном списке. Будьте аккуратны и не выдумывайте свои ФСУ.
Также хочу продемонстрировать решение двух примеров с использованием этих формул — относительно простенького и нормального:
Как видите, вещь нужная и жизненно необходимая, если вам нужно срочно упростить гигантский пример.
Но что делать, когда ФСУ рядом и не пахнет? Неужели выхода нет?
Способ третий: группировка
Этот способ отчасти является продолжением темы с вынесением за скобки.
Только тут не один множитель, а несколько от каждой группы.
Тут уже действует определённый алгоритм:
1. Если у нас бардак в выражении — группируем одночлены таким образом, чтобы рядом оказались те, которые имеют общий множитель, которые можно вынести за скобку.
Например, x³ +12y² - 3x²y -4xy. Как-то все некрасиво и неочевидно. Давайте исправим эту маленькую неприятность:
x³-3x²y-4xy+12²y
И, далее:
(x³-3x²y)-(4xy-12y²)
(можно было представить и как (x³-3x²y)+(-4xy+12y²), но минус — штука опасная, и лучше с ним не шутить, избавляясь от него при первой же возможности)
Сразу предупреждаю, что если вы не сообразили, как именно нужно переставить и почему вообще есть нужда в перестановке слагаемых — это нормально, чувство красоты прививается не сразу. Но без практики вы не научитесь видеть её никогда.
2. Выносим общие множители за каждую нашу группу в скобках.
В нашем примере это будет выглядеть так:
x²(x-3y)-4y(x-3x)
3. Шок! После вынесения общих множителей из нашего выражения вылез... ещё один общий множитель — (х-3у). Почему бы не вынести и его?
(х-3у)(х²-4у)
Вот и всё. Мы получили две красивые скобочки вместо кучки разбросанных одночленов. Очень часто они сокращаются, если входят в состав дроби.
Ну а если группировка не помогает? Что тогда?
Способ четвёртый: разложение квадратного трёхчлена на множители
Узконаправленный способ, но от того не менее популярный у составителей ЕГЭ (как, впрочем, и сами квадратные уравнения).
Любое квадратное уравнение, у которого есть корни, можно разложить на множители. При этом возможны две ситуации:
- Корень у квадратного уравнения один. Тогда разложение происходит так:
ax²+bx+c = a(x-x1)²
2. А если два — то так:
ах²+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
Поэтому каждый раз, когда вы видите квадратное уравнения, вспоминайте про этот способ разложения на множители. Возможно, Судьба будет к вам благосклонна, и какая-то из скобок (а то и сразу две!) сократится.
Так, стоп! А кубические? А уравнения четвёртой степени и выше? Как быть, если не работают формулы сокращённого умножения на кубов, ничего не выносится, не группируется, а как-то убирать этот ужас надо?
А вот об этом мы поговорим в следующий раз. Не забудьте подписаться на канал, чтобы ничего не пропустить!