И сразу же ответ: они классные и проще них только степени. Не верите или вообще понятия не имеете, что такое логарифмы?
Поверьте, после прочтения этой статьи вы будете со мной солидарны.
Для чего же сделаны наши логарифмы?
Вы наверняка можете сразу решить такое уравнение, не выполняя никаких сложных математических манипуляций:
2ⁿ = 4
Ежу понятно, что n = 2. А вот такое?
2ⁿ = 9
Теперь сможете, если прочтёте определение логарифма!
Логарифм — это степень, в которую возводится число №1, чтобы получилось число №2.
В нашем случае число №1 — это 2, число №2 — это 9. А n =
Вот так вот! Все задачи на логарифмы, от преобразования выражений до уравнений и неравенств, строятся именно на этом определении, и многие свойства выводятся именно из него. Поэтому очень важно само понимание того, что это такое.
Немного терминологии, чтобы шарить
Математикам неинтересно называть вещи своими именами, поэтому они придумывают "показатели" для степеней и "переменные" для неизвестных. Иногда из лени и нежелания проговаривать длинные обозначения, иногда из-за чего-то другого. Факт остаётся фактом — в своё время логарифмы эта тенденция не обошла, а потому, чтобы быть в курсе ситуации и понимать, в чём дело, вы должны, помимо определения логарифма, усвоить следующие понятия:
Основание (пришло из степеней!) — число a, которое нужно возвести в степень n.
Аргумент — число b, которое получилось в результате возведения числа a в степень n.
Правило чтения логарифмов: логарифм b по основанию а равен n.
Но это ещё не всё. Мало было им по косточкам разобрать логарифм — они ещё и придумали несколько видов логарифмов, помимо обычного!
Десятичный логарифм — он же логарифм по основанию 10, обозначается как lg.
Натуральный логарифм — он же логарифм по основанию e (экспонента, е ≈ 2,7), обозначается как ln.
Теперь вы не запутаетесь во всём этом многообразии, когда будете слушать лекции или читать материалы по логарифмам.
Свойство, которое учить точно не нужно
Возможно, вы уже начали изучать логарифмы. В таком случае, вы знаете или догадываетесь, что у логарифмов должны быть какие-то свойства.
Конечно, есть. Но я не советую сразу кидаться учить таблички с ними — иногда достаточно вспомнить наше волшебное определение логарифма!
Ну и, конечно, вы просто можете запутаться в формулах, а так вы всегда сможете вывести их и проверить.
Да и, к тому же, есть риск, что вы не понимаете, насколько определение логарифма может быть коварным...
Во-первых и прежде всего
Будет очень правильно задаться вопросом: "А почему а > 0"? Или "Почему а ≠ 1, а х и у > 0?", а уж потом обратить внимание на свойства.
1. Давайте подумаем, почему в основании а > 0. Как мы помним, упрощённо, логарифм — это показатель степени.
Попробуем возвести отрицательное число в степень:
(-2)³ = -8
А если нас просят найти логарифм 8 по основанию -2?
(-2)ⁿ ≠ 8
Такого n просто нет!
То же самое с положительным ограничением на аргумент:
2² = 4
2ⁿ ≠ - 4 !
(-2)ⁿ ≠ -4 !!
Получается, что для отрицательных чисел не всегда есть решения, логарифм не всегда определён. Поэтому лучше не морочить себе голову и работать только с положительными значениями — с ними таких проблем не возникает.
2. А чем же им а = 0 в основании так не угодило?
В аргументе понятно — такое число может получиться, только если мы возводим в какую-то степень нуль, а это очень ограниченно и неинтересно. Но если это просто скучно, с основанием дела куда серьёзнее.
Давайте опять возводить в степень.
0ⁿ = 0
А если бы мы возводили в (-n)?Получается, мы делим на нуль!
Как и в прошлом случае, у нас "доступны" не все решения. И это плохо.
3. Ну и, как вы можете догадаться, та же история и с а = 1. Согласитесь, в какую степень 1 не возводи — всегда получим ту же единицу. И никакое другое число! А это уже сужение области допустимых значений аргумента до одной-единственной цифры. Надо оно нам?
Думаю, нет.
Зато я точно знаю, что нам действительно надо — вывод и доказательство остальных свойств. Зубрёжка — зло, и мы дадим ей бой в следующей статье.
Не забудьте поставить лайк и подписаться на канал, чтобы ничего не пропустить!