Как разрезать квадрат на сколько угодно квадратов

Вы умеете разрезать квадрат на 6 квадратов (возможно, разных)? А на 7? А на 2019? Попробуйте.

Очень легко разрезать квадрат на 1, 4, 9, 16, 400, 10 000 квадратов, а также любое другое число, являющееся квадратом целого числа. Оказывается можно разрезать на любое число, кроме 2, 3 и 5.

Курсивом будут методические комментарии для учителей. Вопрос про 400 или 10000 квадратов взрослым очевиден, а для детей это серьезный шаг.

Иллюстрация: Анастасия Аверьянова

На 7 частей

Попробуйте разрезать квадрат на 7 (не обязательно равных) квадратов.

Разрежем квадрат на 4 равных квадрата. А потом один из них еще на 4 равных квадрата. Вот так:

Мы не считаем сколько на рисунке квадратов, а разрезаем ножницами по линиям и считаем части.

Со школьниками надо обсудить вопрос: почему было 4 квадрата, разрезали еще на 4. Вроде 4 + 4 = 8, а у нас 7 квадратов. Дело в том, что тот квадрат, который мы разрезали, мы теряем. Получается операция «+3».

На 10 частей

Разрежьте теперь на 10 частей. А вот так же:

Мы применили знакомый подход, прибавили три квадрата.

На 103 части

Число 103 дает остаток 1 при делении на 3, также как 7 или 10. То есть мы можем взять картинку из предыдущего примера, делать с ней операцию «+3» нужное количество раз, пока не получим 103.

Можно и по-другому действовать:

103=100+3

Важно, что когда квадратов становится много, уже не нарисуешь их все. Школьник переходит от картинки к тексту. Требуйте от него решения, которое бы он мог зачитать другу по телефону, чтобы тот понял.

На 6 квадратов

Свежая идея: 6 = 9 − 3

Возьмем разбиение на 9 и объединим четыре квадратика в один .

На 8 квадратов

Та же самая идея: большой квадрат и граница из маленьких. 8 = 16 − 8

На 2018 квадратов

Попробуем создать конструкцию как выше: один большой квадрат и тонкая рамочка. У нас будет один большой квадрат, один угловой и две полосочки из квадратиков. Посчитаем, сколько их в полосочке:

(2018 − 2):2 = 1008.

То есть берем маленький угловой квадратик, добавляем 1008 таких вправо, 1008 таких вниз. Достраиваем до большого квадрата.

Школьникам полезно проговорить этот алгоритм, чтобы снова перейти от картинки к текстовому решению.

Так мы научились делить квадрат на любое четное число квадратиков, кроме 2.

На сколько угодно

Мы умеем делать 6, 7, 8 квадратиков. Значит операцией «+3» можем добиться любого нужного нам количества.

Для нечетных чисел можно рассуждать и по-другому. Возьмем нужное нам нечетное число, вычтем 3, получим четное число. Разрежем нашим способом для четных чисел. А потом применим операцию «+3».

Предложите школьникам придумать хотя бы два способа разрезать квадрат на 61 часть и описать словами, как они это делают.

Разумеется, есть и другие способы разрезания.

Источник

Д.Э.Шноль «Олимпиадные задачи на уроке в 5-6 классе», видеозапись семинара для учителей проекта «Математическая вертикаль»

Читайте меня также в Телеграме:

Канал о том, как я учу математике своих сыновей

Канал о геометрии

Да и здесь, в Дзене, подписывайтесь.