В рассказе о том, какие математические факты удивляют гуманитариев, было и равенство 0,999999…=1. Не всем кажется, что это правда; а в комментариях высказывают очень поучительные соображения.
Что нам говорит определение
Вы знаете, какое число больше: 3/8 или 2/5? Это правильные дроби, и сравнивать их не так уж удобно. Вот если их записать в виде десятичных, будет гораздо проще. Разделим в столбик:
3/8 и 0,375 – это две разные записи одного и того же числа; а 2/5 и 0,4 – две разные записи другого. Но не все правильные дроби с легкостью переходят в десятичные. Чтобы записать 1/3, попробуем разделить 1 на 3:
Разделить так до конца 1 на 3 в столбик не получается… А записать 1/3 десятичной дробью хочется. Поэтому записывают так: 0,333333… Или так: 0,(3). Это не разные числа, это разные формы записи числа 1/3. Они удобны, ведь из них легко получать приближения для 1/3, чтобы сравнивать с другими числами. Можем оборвать запись в любом месте и получим приближение с недостатком. А если увеличить последнюю цифру, то получим приближение с избытком:
Равенство 0,3333….=1/3 легко умножить на 3 и получить 0,9999…=1.
От противного
Все ещё не верится? Интуиция вопиет, что 0,9999… меньше 1? Давайте предположим абсурдное: что это два разных числа. Попробуем вычислить их среднее арифметическое. Оно должно быть меньше 1, и больше 0,99999…, не так ли? Какими же цифрами его записать? Раз меньше единицы, то это число записывается нулем целых и еще цифрами после запятой.
Как ни записывай, число больше 0,9999… и меньше 1 не запишется – противоречие!
Ахиллес и черепаха
Судя по комментариям, многим кажется, что 0,9999… – это не число, а процесс. Словно бы мы берем 9 десятых, прибавляем 9 сотых, потом еще 9 тысячных и так далее. Такой подход напоминает мне историю про Ахиллеса и черепаху. Мы даже можем подобрать подходящие значения, чтобы получить 0,999999...
Пускай Ахиллес бегает не очень быстро – со скоростью 1 метр в секунду, а черепаха ползает в 10 раз медленнее его. Сначала расстояние между Ахиллесом и черепахой равно 90 см. Ахиллес и пробегает это расстояние за 0,9 секунды. Черепаха за это же время отползает на 9 см. Ахиллес опять пускается черепахе вдогонку и пробегает эти 9 см за девять сотых секунды. Тем временем черепаха уползает ещё на 9 мм. Ахиллес снова бросается вслед за ней и пробегает это расстояние за девять тысячных секунды...
На бегу он складывает времена: 0,9 секунды, 0,09 секунды, 0,009 секунды… Общее время его пробега и есть 0,99999...
Парадокс про Ахиллеса и черепаху очень старый, и существуют соображения в пользу того, что Ахиллес черепаху никогда не догонит. Но здравый смысл подсказывает нам, что эти соображения не безупречны и Ахиллес все же черепаху опередит. Мы даже можем вычислить время сближения, и бесконечный ряд для этого суммировать не придется. Достаточно обычной школьной формулы про скорость, время и расстояние.
Эти двое бегут в одну сторону, поэтому скорость сближения равна разнице скоростей, или 0,9 метра в секунду. На расстояние 0,9 м они сблизятся ровно за секунду. Итак, мы посчитали время, за которое Ахиллес догонит черепаху, двумя способами. Один способ дал нам 0,999… секунды, а второй – ровно секунду.
Все еще кажется, что 0,99999… меньше 1, и Ахиллес никогда не догонит черепаху? Купите черепаху, отпустите бежать, куда её глаза глядят, и попробуйте ее обогнать. Все получится!