Первым о том, как устроена геометрия, в своем труде «Начала» рассказал Евклид. Через две тысячи лет математики наконец-то разобрались в этом построении досконально и поняли, что надо бы его уточнить. В конце XIX века немецкий математик Давид Гильберт построил новую, более строгую аксиоматику. В ней интуитивные понятия вроде «лежать между» подробно описаны и закреплены аксиоматически.
Новая аксиоматика настолько совершенна, что не обращается к нашим интуитивным представлениям. Теперь не важно, как выглядят прямая и точка, можно об этом ничего не знать, и все равно построить геометрию. Сам Гильберт говорил об этом так:
Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках.
После Гильберта стало ясно: главное чтобы аксиомы выполнялись, а вот как мы представляем себе объекты, описанные аксиомами, – совершенно не важно.
Мы можем по старинке представлять себе точку такой маленькой штучкой без всякой протяженности (не так-то это легко представить…). Можем представлять себе, что точка – это такая пивная кружка. (Ну… с трудом…) Или что точка – это два числа (а вот это уже очень, очень известная модель евклидовой геометрии на плоскости).
Да-да, можно считать точкой пару чисел. Скажем, (3;5) – это одна точка, (4;8) – другая точка, (8;4) – третья, (4;√3) – тоже точка. Всевозможные пары чисел мы называем плоскостью. Уравнение x₁=4 задает прямую. Ей принадлежат все точки (пары чисел), у которых первое число равно 4. Например, точки (4;√3) и (4;8) лежат на этой прямой. А вот (8;4) – нет. Прямую задает любое линейное уравнение; скажем, 3x₁-x₂-4=0 – это тоже прямая.
Координаты на плоскости крепко связывают обе модели: каждой паре чисел соответствует привычная точка с такими координатам и наоборот.
Алгебраическая модель, пожалуй, мощнее. Для нее разработаны изощренные алгебраические методы, ее проще засунуть в компьютер. Но привычная модель понятнее интуитивно, к ней легче привыкнуть, то есть усвоить ее.
Иногда кажется, что привычная модель и есть «настоящая» евклидова геометрия, а алгебраическая модель – только рабочий инструмент для работы с ней. Но по современным научным представлениям ни одна модель не более «настоящая», чем другая. Хоть горшком назови… лишь бы аксиомы выполнялись.
Это была подготовка к рассказу о модели геометрии Лобачевского. Очень уж требуют ответа комментарии о ней к статье «Чем удивить гуманитария».