Кеннет Эрроу (Нобелевский лауреат, между прочим) пытался придумать способ справедливо обобщать индивидуальные предпочтения, то есть создать справедливую избирательную систему. Но у него не получилось; причем дело не в том, что он плохо старался, а в том, что это невозможно в сделанных предположениях. Эрроу математически строго сформулировал теорему о том, что именно невозможно. По традиции эта теорема называется теоремой о невозможности демократии, а иногда парадоксом Эрроу.
В рамках теоремы рассматриваются N (больше двух) индивидуумов; скажем, граждане одной страны, жители одного многоквартирного дома или компания друзей. У них есть несколько альтернатив; скажем, кандидаты в президенты, варианты ремонта в доме, или способы провести выходной день вместе. Важно, что осуществиться может только одна альтернатива, ее нужно выбрать вместе.
По условию теоремы считается, что каждый индивидуум может упорядочить эти альтернативы по предпочтительности. Допустим, мы собрали списки предпочтения у всех индивидуумов (провели голосование) и хотим по этим спискам построить общий список предпочтений. Иными словами, на основе индивидуальных предпочтений выработать коллективное. Вот Эрроу и попытался это сделать математически строго. Он еще потребовал выполнения некоторых условий, которые представляются вполне разумными.
- Универсальность: каждый избиратель предоставляет один и только один список своих предпочтений, и при этом волен упорядочить альтернативы как ему угодно.
- Отсутствие диктатора: общий список предпочтений не должен определяться только одним индивидуумом без учета предпочтений всех остальных.
- Независимость от посторонних альтернатив. Это свойство можно по-разному формулировать, например так: если в общем списке предпочтений кандидат А стоит выше кандидата В, а потом в число кандидатов вошел еще Х (или наоборот, кого-то вычеркнули), то А все равно останется выше В.
- Единогласие: если все избиратели ставят А выше В, то и в общем списке предпочтений А должен стоять выше В.
Далее Эрроу математически доказал, что не существует избирательной системы, которая удовлетворяла бы всем этим требованиям.
Смысл теоремы Эрроу не в том, что это приговор демократии, а в том, что она дала стимул дальнейшим исследованиям. К "очевидно разумным" предположениям стоит присмотреться внимательнее.
Мы теперь знаем, что не вполне рационально действуем, когда делаем выбор. Мы иногда не можем определиться, какой вариант предпочтительнее, не можем сравнить альтернативы. Бывает, что предпочтения есть, но они нетранзитивны: например, я предпочитаю мороженое каше, кашу котлете и котлету мороженому; такие предпочтения нельзя упорядочить. Предпочтения могут быстро меняться. На сытый желудок у меня одни предпочтения, а на голодный другие.
Мы теперь знаем, что независимость от посторонних альтернатив тоже нереалистична и научились учитывать это на практике: в очень важных случаях голосование проводят в два тура. Если ни один из кандидатов не набирает более половины голосов, то отбирают двух самых успешных и проводят выбор только среди этих двух альтернатив. Например, в первом туре А был на первом месте, а В на втором. Отбросили все остальные альтернативы и провели второй тур: может случиться так, что теперь В займет первое место. Это и означает, что на практике независимость от посторонних альтернатив не имеет места.
