Правильны оба варианта, но не всегда и не везде.
В британском английском, как правило, употребляется только один вариант – to speak to smb, например:
Can I speak to Mr Brown? – Я могу поговорить с мистером Брауном?
А можно ли сказать to speak with smb? Можно, но звучит это очень официально и предполагает долгую, официальную беседу, переговоры.
В американском английском всё проще: оба варианта нормально сосуществуют. Иными словами, в американском английском следующие два варианта практически равнозначны друг другу:
Can I speak to Mr. Brown? – Я могу поговорить с мистером Брауном?
Can I speak with Mr. Brown? – Я могу поговорить с мистером Брауном?
Если в американском английском между ними и есть какая-то стилистическая разница, то она незначительна.
И кстати, вы обратили внимание на то, что «мистер» по-разному написано в примерах британского английского и американского?
Разница следующая: британский английский – Mr (без точки); американский английский – Mr. (с точкой). Но это отдельная тема, и о ней мы обязательно поговорим в ближайшее время.
А прямо сейчас ждём вас на сайте «Активизируем английский». Напоминаем, что обучение с нами не будет стоить вам ни копейки, а результат обещает быть (is going to be) замечательным. Проверено на людях.