Четность является одной из самых первых тем с которой сталкиваются в олимпиадных задачах. Четность очень полезна при доказательствах от противного, чтобы получить противоречие, как это было в Задаче 2.
Условие:
На доске записаны числа от 0 до 9. Часть из них стерли, а для всех остальных записали всевозможные попарные произведения ab (a≠b). Оказалось, что среди этих произведений нашлись числа оканчивающиеся на все цифры от 0 до 9. Какое максимальное количество цифр могло быть стерто с доски?
Решение:
Чтобы числа заканчивались на все цифры, чисел должно быть не меньше 10 и среди них должно быть минимум 5 четных и 5 нечетных. Если взять только 5 чисел, то у них будет 10 попарных произведений, но равного количества четных и нечетных не получится (см. Задача 16). Таким образом должно было остаться не менее 6 чисел.
Например 2, 1, 3, 5, 7, 9. Это значит, что максимально можно было стереть 4 числа.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!