В математике есть много разных геометрий, есть и такие, где окружности некруглые, и где π=4. Сначала мы побываем в Городе с такой геометрией, а потом я расскажу, где все это используется на практике.
Город
В этом городе есть улицы двух направлений: север-юг и запад-восток. Когда взлетаешь над городом, сеть улиц выглядит словно лист бумаги в клеточку.
На перекрестке двух улиц живет Корней, его домик мы обозначим буквой К. Каждый вечер он ходит гулять и проходит несколько кварталов – некоторые на восток, некоторые на юг, а потом возвращается.
В Городе ходить напрямик нельзя, можно только по улицам. Для простоты будем считать, что скорость Корнея – 1 квартал в минуту. Долго ли идти Корнею в гости к своему другу Пантелею?
Надо пройти семь кварталов на восток и три на юг, всего Корнею идти 10 минут. В Городе так расстояния и измеряют: расстояние между двумя точками – это самое короткое время, за которое можно добраться из одной в другую. Так, расстояние от Корнея до Пантелея равно 10.
Если бы Корней был не цыпленок, а воробей, и умел бы летать по прямой, то добрался бы скорее: привычное евклидово расстояние между точками К и П не 10, а меньше. Расстояния Городе измеряются совсем не так, как мы привыкли. Интересно, что кратчайших путей от одной точки до другой несколько. И правда, есть несколько маршрутов длины 10 от К до П. Лучу света, который пожелал бы добраться из K в П кратчайшим путем, было бы нелегко выбрать траекторию!
В Городской геометрии формула расстояния через координаты совсем простая. Когда мы идем от точки А в точку В, надо сложить число пройденных кварталов по горизонтали и по вертикали:
Владея такой ценной формулой, мы можем определить расстояние не только между узлами решетки, но и между любыми точками плоскости. Разрешим Корнею ходить по плоскости в любом месте, но только в двух взаимно перпендикулярных направлениях север-юг и запад-восток. Он сможет добраться до любой точки плоскости. Но по-прежнему считаем, что расстояние до точки равно сумме расстояний с севера на юг и с запада на восток.
Давайте посмотрим, на что похожи в такой геометрии окружности.
Хотя геометрия Евклида и геометрия городских кварталов сильно отличаются, у них есть кое-что общее. Все окружности подобны, и отношение длины окружности к ее диаметру постоянно. Это отношение обозначают буквой π. В нашей привычной уютной геометрии Евклида, где окружности круглые; где расстояние не зависит от направления, где кратчайший путь от точки к точке всегда единственный, вычисление все более точных приближений π растянулось на многие века. В геометрии городских кварталов π легко вычислить.
Найдем же это отношение. Длина окружности состоит из 4 одинаковых кусков. На нашей картинке длина АЕ равна 8, тогда длина всей окружности – это 8∙4. Диаметр же равен 8, поэтому отношение длины окружности к диаметру равно 4.
По определению число π есть отношение длины окружности к диаметру, так что в Городе π=4.
В следующей статье -- рассказ о том, зачем нужны непривычные расстояния.