Автор статьи: Антонио Грамши, педагог, математик и автор логических игр.
Первая часть статьи с другой вариацией игры
Попробуем вообще отказаться от обязательных троек при выставлении квадратиков, но оставим ограничение на длину ряда из рядом стоящих квадратиков. Таким образом, единственное правило выставления квадратиков будет следующим: по вертикали, горизонтали и диагоналям не должно стоять более трех соседних (соприкасающихся) квадратиков. Соответственно, допустимы изолированные и объединенные лишь в пары квадратики. В качестве затравки может использоваться и пустое поле.
Самая интересная задача состоит в нахождении минимальных и максимальных полных конфигураций для заданных конечных полей, представляющих собой различные геометрические фигуры.
Даже в простейших случаях мы сталкиваемся с нетривиальными задачами комбинаторной геометрии. Рассмотрим, для начала, квадратное поле 44 (рис. 1).
Минимальной полной конфигурацией для него будет квадрат, составленный из 33=9 квадратиков, примыкающий к любому из четырех углов поля (рис. 2).
Максимальная полная конфигурация представлена на рис. 3. Число квадратиков в ней равно 12.
Есть ли другие, принципиально отличные от приведенных выше, минимальные и максимальные полные конфигурации?
Найдите для этого же поля полную конфигурацию с каким-нибудь промежуточным числом квадратиков, например, 11.
Решение представлено на рис. 4.
Минимальная полная конфигурация для него, представленная на рис. 6, тоже состоит из 9 квадратиков.
Максимальная полная конфигурация состоит из 17 квадратиков (ее варианты представлены на рис. 7 и 8).
Найдите другие максимальные полные конфигурации для этого поля.
Несложно найти минимальную полную конфигурацию для квадрата 66 ( рис. 9).
Найдите для него максимальную полную конфигурацию.
Найдите минимальную и максимальную полные конфигурации для квадратных полей 77, 88 и т. д.
Перейдем к полям иных форм. Интереснейший случай – крестообразное поле, изображенное на рис. 10.
Найдите для него минимальную полную конфигурацию.
Решив подобную задачу для квадратных полей небольших размеров, можно было бы предположить, что и в данном случае элементами минимальной полной конфигурации будут квадраты, составленные из 33=9 квадратиков, или близкие к ним фигуры.
На рис. 11 и 12 представлены соответствующие гипотетические решения.
Но, оказывается, это не минимальные полные конфигурации, а…наоборот, максимальные. Число квадратиков в них равно 33.
Минимальные же полные конфигурации совершенно иные. Они представлены на рис. 13 и 14. Число квадратиков в них равно 24. Парадоксальным образом, в них встречаются элементы, входящие в максимальные полные конфигурации для квадратных полей.
Найдите минимальные и максимальные полные конфигурации для ступенчатых диагональных квадратов разных размеров (квадрат 44 такого рода представлен на рис. 15).
В игре “Не больше трех” интересны и полные конфигурации на бесконечном поле.
Плотность полной конфигурации, изображенной на рис. 16, очевидно, равна = 0,5625. Исходя из минимальных полных конфигураций для конечных квадратных полей, можно предположить, что данная полная конфигурация тоже минимальна.
Так же, как и в игре в тройки, большой эстетический и теоретический интерес представляют регулярные полные конфигурации, которые мы будем называть завершенными узорами. Многие завершенные узоры получаются из соответствующих узоров игры в тройки путем добавления квадратиков. Будем называть соответствующую процедуру насыщением. Возьмем для примера узор, изображенный на рис. 17.
Добавляя зеленые квадратики, достроим его до завершенного узора, представленного на рис. 18.
Теперь возьмем сильно разреженный узор, изображенный на рис. 19.
Добавив зеленые квадратики, получим завершенный узор (рис. 20).
Подчеркнем, что это лишь один из способов насыщения. Добавляя квадратики иным способом, мы получим другие завершенные узоры.
Выбор бесконечной регулярной затравки, способа насыщения и цветовой гаммы для окончательного узора может стать подлинным творчеством.
Особый интерес представляет поиск завершенных узоров максимальной плотности.
Максимальная полная конфигурация на бесконечном поле и ее плотность автору пока не известны. Возможно, это конфигурация, изображенная на рис. 21.
Найдите ее плотность!
Получить 10 полезных материалов для развития математических способностей ребенка в телеграм
🔔 Подпишитесь — расскажем, как превратить «не хочу» в «дай задачу посложнее».
Вам может быть интересна статья: