Перед тем как публиковать этот текст, я задала вопрос «Каким фактом из гуманитарных наук можно удивить математика» на яндекс.знатоках. Так что надеюсь написать и в другую сторону тоже. А теперь к удивительным фактам.
1. Высшая математика – это совсем не передний край математики. Так называют совокупность математических дисциплин, которые нужно изучать химикам, физикам, социологам… Такой естественно-научный ликбез.
2. В математике нет понятия «число». Натуральные числа есть, рациональные есть, сюрреальные есть, много всяких других еще есть, а «просто чисел» нет. К тому же мы не можем собрать в одну кучку все виды чисел и объявить: смотрите, мы перечислили все числа. Дело в том, что математики постоянно придумывают новые числа, и к тому же граница между числами и «нечислами» размыта. Переходя от натуральных чисел к другим, мы потихонечку теряем свойства. Скажем, у каждого натурального числа есть следующее: за 3 следует 4 и т.п. А у действительных чисел следующих за ними уже нет. Зато мы можем сравнивать действительные числа по величине: 3<4; а вот комплексные числа так сравнить нельзя. Шагая дальше по тропе обобщений, мы встретим кватернионы и потеряем коммутативность умножения, теперь xy не обязательно равно yx. Еще дальше на этой тропе мы увидим октонионы и объекты совсем уж экзотические. Считать ли их числами? В математике нет правильного ответа на этот вопрос, так как нет понятия «число».
3. Четных чисел столько же, сколько целых. То есть в множествах
… -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
чисел поровну. Казалось бы: как же так? В нижнем множестве есть все те числа, которые есть в верхнем, да плюс еще некоторые другие! Почему же их поровну? Потому что можно установить взаимно однозначное соответствие между теми и другими. Каждому целому числу поставить в соответствие ровно одно четное и наоборот.
4. В квадрате столько же точек, сколько на отрезке; тоже можно построить взаимно однозначное соответствие. Это совсем противоречит интуиции, ведь в квадрат можно поместить бесконечно много экземпляров отрезка! В свое время Георг Кантор, когда искал оооочень большие множества, пытался доказать, что в квадрате точек существенно больше, чем в отрезке, а потом неожиданно для себя самого построил соответствие. Оно оказалось взаимно однозначным, но не непрерывным.
5. Классика жанра: 0,9999999… = 1. Когда мы пишем 0,9999999… то кажется, что это число до единицы чуть-чуть не дотягивает. Поэтому удивительно, что оно равно единице в точности. Правда, обычно никто не сомневается в том, что 1/3=0,333333… . Остается у этого равенства левую и правую часть умножить на 3.
6. Довольно популярный миф о том, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются, неверен: они не пересекаются. Правильно сказать: через одну точку вне данной прямой можно провести несколько прямых, параллельных данной. Хотя все эти прямые параллельны данной, но они имеют общую точку, а значит, не параллельны друг другу.
На этой картинке – модель Пуанкаре плоскости Лобачевского (и курсивом я выделяю обычные слова, имеющие непривычный смысл). Плоскостью мы считаем евклидову полуплоскость – на картинке она оранжевая. Вверх, влево и вправо она простирается бесконечно, а снизу ограничена абсолютом – условной линией, которая плоскости не принадлежит. Прямыми мы считаем лучи с началом на абсолюте и перпендикулярные ему, а также полуокружности с центром на абсолюте. Кратчайшие пути между точками лежат вдоль этих прямых. На картинке мы видим 5 прямых: желтую, синюю, зеленую, коричневую и голубую. Зеленая и желтая не имеют общих точек, а потому параллельны. Зеленая и синяя тоже не имеют общих точек, и тоже параллельны. Синяя и жёлтая не параллельны – у них есть общая точка.
7. Математики беспощадно вторгаются в области, которые обычно гуманитарии оставляют за собой. Например, в середине прошлого века построили теорию избирательных систем. Кеннет Эрроу доказал теорему о невозможности демократии. Ему еще потом Нобелевскую премию дали, хотя и не именно за эту теорему, а по совокупности заслуг. «О невозможности демократии» -- это устоявшееся название теоремы. Смысл ее в том, что некоторые «очевидно необходимые» свойства избирательных систем не могут выполняться одновременно.
Какие еще математические факты удивляют гуманитариев? Какие факты из гуманитарных наук удивляют математиков?