Теорема Виета как известно не только помогает решать уравнения различных степеней, но и дает отличный способ для оценки корней и коэффициентов. Так как просто решать квадратные уравнения невыносимо скучно, в приведенной ниже задаче потребуется найти всевозможные коэффициенты и корни. Предыдущая задача по теме.
Условие:
Три коэффициента a, b, c и два корня x1, x2 квадратного трехчлена ax² +bx+c=0 выписаны на доске в некотором порядке и образуют 5 последовательных целых чисел. Найдите все такие трехчлены.
Решение:
По теореме Виета:
Предположим, что среди чисел нет 0 и m наименьший модуль. Тогда |c|≥|1⋅2⋅3|=6, откуда m≥2 (так как если |c|=6, то наименьший модуль будет отличаться не более чем на 4). В то же время |c|≥ m³, то есть между минимальным модулем и c разница больше 4. Таким образом одно из чисел равно 0.
Если c=0, то один из корней равен нулю и наоборот. Если a=0, то у трехчлена один корень, то есть корни совпадают. Таким образом b=0.
Отсюда имеем, что сумма корней равна 0, а разность не больше 4 (по модулю). Возможны два варианта:
В первом случае a=-c, и чтобы выполнялось условие задачи a=± 2, c=-a. Во втором случае a=-4c и разница между a и c больше 4. То есть искомые многочлены:
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!